reshenie_zadanie_2_prezentaciya

1.

Линейчатая структура
однополостного
гиперболоида
Задание 2: два семейства прямолинейных
образующих
Цель: записать образующие в параметрической
форме в исходных координатах.

2.

Переход к ортонормированной системе
Центр поверхности
Собственные направления
квадратичной формы
Замена координат
Смысл: поворот к главным осям и
параллельный перенос в центр.
2

3.

Канонический вид и параметры
После преобразования исходное уравнение
принимает вид
Это однополостный гиперболоид
знак «минус» стоит только при одной
координате;
такая поверхность является дважды
линейчатой;
каждая точка лежит на двух образующих
прямых.
3

4.

Идея построения прямолинейных образующих
Положим
Прямую ищем так, чтобы при подстановке в
каноническое уравнение исчезал параметр λ.
отсюда возникают два
знака
Они дают два независимых
семейства прямых на
поверхности.
4

5.

Два семейства в канонических координатах
Параметры: φ задаёт конкретную образующую, λ — точку на ней.
Первое семейство
Второе семейство
φ∈[0,2π), λ∈ℝ
5

6.

Возврат к исходной системе координат
Общая формула для любой образующей:
Следовательно, достаточно подставить в эту формулу параметры (u,v,w) из каждого
семейства.
Координатный
перенос
Ортонормированный
базис
6

7.

Первое семейство в исходных координатах
При α=cosφ, β=sinφ:
x = −1 − (3/√2)(α − λβ) + (1/√3)(β + λα) + 2λ/√6
y=
(1/√3)(β + λα) − 4λ/√6
z = 1 + (3/√2)(α − λβ) + (1/√3)(β + λα) + 2λ/√6
Для фиксированного φ это линейная функция параметра λ, то есть прямая.
λ∈ℝ
7

8.

Второе семейство в исходных координатах
При α=cosφ, β=sinφ:
x = −1 − (3/√2)(α + λβ) + (1/√3)(β − λα) + 2λ/√6
y=
(1/√3)(β − λα) − 4λ/√6
z = 1 + (3/√2)(α + λβ) + (1/√3)(β − λα) + 2λ/√6
Знаковая симметрия отражает вторую систему прямолинейных образующих.
φ∈[0,2π), λ∈ℝ
8

9.

Проверка и итог
Проверка принадлежности поверхности:
Вывод:
заданная поверхность — однополостный
гиперболоид;
она имеет два семейства прямолинейных
образующих;
формулы на слайдах 7–8 дают эти прямые в
исходных координатах.
Геометрический смысл: поверхность может быть
образована движением прямой.
9