Neopredelennyi_int3

1. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование иррациональных функций

2. Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка
Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются
рациональные действия принято обозначать
R(sin x; cos x )
Вычисление неопределенных интегралов типа:
R(sin x; cos x ) dx
Знак рациональной функции
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции с
помощью подстановки, которую называют универсальной:
x2 x
12 tgtg
22
x
2
t
1
t
2
dt
2t
1
t
2dt
2
2
tg t sinsin
x 2 2 22 ; dx
cos
x
2;t
xx x2
arctg
cosdx
2
1t
t tt
1 11
t tgtg2 2xx 11 1
1 t 2
22

3. Интегрирование тригонометрических функций

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в
зависимости от вида подынтегральной функции R (sin x; cos x )
Если функция нечетна относительно sin x, то есть:
R( sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
то применяется подстановка cos x = t.
Если функция нечетна относительно cos x, то есть:
R(sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
то применяется подстановка sin x = t.
Если функция четна относительно cos x и sin x, то есть:
R( sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
тогда:
2
t
1
dt
2
2
tgx t
sin x
; cos x
; dx
2
2
1 t
1 t
1 t 2

4. Интегрирование тригонометрических функций

dx
1 sin x cos x
x
tg t ;
2
2t
sin x
;
2
1 t
1 t 2
2dt
cos x
; dx
2
1 t
1 t 2
2dt
2
2dt
1
t
2
2
2
1 t 2t 1 t
2t
1 t
2
1 t
1
2
2
2
1 t
1 t
1 t
dt
ln t 1 C ln tg x 1 C
t 1
2

5. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа:
m
n
sin
x
cos
x dx
Используются следующие подстановки:
Если n – целое положительное нечетное число: sin x = t
Если m – целое положительное нечетное число: cos x = t
В этих двух случаях можно также произвести «отщепление» одной
из нечетных степеней с последующим внесением под знак
дифференциала.
Если m и n - целые неотрицательные четные числа, то
применяются формулы понижения степени:
1
sin x (1 cos 2 x );
2
2
1
cos x (1 cos 2 x )
2
2
Если m + n - отрицательное четное целое число, то
применяется подстановка: tg x = t

6. Интегрирование тригонометрических функций

7
3
sin
x
cos
xdx
7
2
sin
x
cos
x cos xdx
7
2
sin
x
(
1
sin
x )d (sin x )
7
9
(sin
x
sin
x )d (sin x )
1 sin2 x
sin8 x sin10 x
C
8
10
2
1
sin x dx 2 (1 cos 2x ) dx
1
1
1
2
1 2 cos 2 x cos 2 x dx dx cos 2 xdx
4
2
4
1
1
1
1
1
1
cos
4
x
dx
x sin 2 x x
sin 2 x C
8
4
4
8
32
4

7. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа:
sinax cos bx dx; cos ax cos bx dx; sin ax sin bx dx
Вычисляются с помощью формул тригонометрии:
sin x cos x 0.5(sin( ) sin( ));
cos x cos x 0.5(cos( ) cos( ));
sin x sin x 0.5(cos( ) cos( ))
sin 8 x cos 2xdx 0.5 (sin10 x sin 6 x ) dx
1
1
0.5( cos 10 x cos 6 x ) C
10
6
1
1
cos 10 x cos 6 x C
20
12

8. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций,
которые с помощью подстановок приводятся к интегралам от
рациональных функций новой переменной.
Интегралы вида:
m n
R
(
x
,
x
,
x
)dx
сводятся к интегралу от рациональной функции подстановкой
N
x t где N – наименьшее общее кратное (НОК) значений m и n.
ax b n ax b
Интегралы вида: R ( x,
,
)dx
cx d
cx d
где a, b, c, d – постоянные, приводится к интегралу от
m
рациональной функции с помощью подстановки:
ax b
tN
cx d
где N – наименьшее общее кратное m и n.

9. Интегрирование иррациональных функций

Иррациональные функции вида:
R( x, ax 2 bx c )
выделением полного квадрата сводятся к 3-м видам функций, для
каждой, из которой применяется свой вид подстановки:
1) R(u, a 2 u 2 ) подстановка:
u a sint
2) R(u, a u )
подстановка:
u a tg t
подстановка:
a
u
cos t
2
2
3) R(u, u a )
2
2

10. Интегрирование иррациональных функций

3 2x x dx 3 ( x 2x ) dx 4 x 1 dx
2
2
2
u x 1
u 2 sin t
2
4 u du
du 2 cos tdt
du dx
4 4 sin2 t 2 cos tdt 2 cos2 t 2 cos t dt
1 cos 2t
dt 2t sin 2t C
4 cos tdt 4
2
2
u
u2 x 1
3 2x x 2
sin t sin 2t 2 sin t cos t u 1
2
4
2
x 1
x 1 x 2
2
t arcsin
2
arcsin
3
2
x
x
C
2
2
2