Неопределенный интеграл

1. Интегрирование

Неопределенный интеграл
Для 19-ИУ, 19-Э
Бобкова И.А.

2. Лекция

Интегрирование рациональных дробей,
некоторых иррациональных и
трансцендентных функций.
Разложение правильной рациональной дроби в
сумму простых дробей.
Интегрирование простых дробей.
Понятие рациональной функции от нескольких
переменных.
Интегрирование некоторых тригонометрических и
гиперболических функций.
Интегрирование
некоторых
иррациональных
функций.

3. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простых дробей.

Функция вида
Pn ( x)
f ( x)
,
Qm ( x)
где Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно,
называется дробно-рациональной функцией, или
рациональной дробью.
Если n < m, то дробь называется правильной, в
противном случае – неправильной. Если дробь неправильная
– выделим ее целую часть:
Pn ( x)
Rk ( x)
Sn m ( x)
,
Qm ( x)
Qm ( x)
где Sn-m(x), Rk(x) – многочлены степени (n – m) и k
соответственно, причем k < m.

4.

Пусть х1 - действительный корень знаменателя
кратности r. Простыми (элементарными) дробями,
соответствующими этому корню, называются дроби вида
A1
A2
Ar
,
,
, ... ,
r
x x1
x x1
x x 2
1
где А1, А2, ..., Аr – действительные числа.
Пусть i – пара комплексно сопряженных корней
знаменателя кратности s, причем
(х – – i )(x – + i ) = x2 + px + q, где D < 0.
Простыми дробями, соответствующими этой паре корней,
называются дроби вида
M s x Ns
M1x N1
M 2 x N2
,
,
, ... ,
s
2
2
x px q
x 2 px q
x 2 px q
где Mj x + Nj (j = 1, 2, …, s) – многочлены первой степени с
действительными коэффициентами.

5.

Пусть x1, x2, …, xk – все действительные корни
многочлена Qm (x) в знаменателе, кратности которых
соответственно равны r1, r2, …, rk; 1 i 1 , …, i
l
l
все пары комплексно сопряженных корней этого же
многочлена кратности s1, s2, …, sl соответственно.
Напомним, что многочлен в этом случае может быть
разложен на множители, то есть представлен в виде
–
Qm ( x) ( x x1) r1 ...(x xk ) rk ( x 2 p1x q1) s1 ...(x 2 pl x ql ) sl .
где
r1 + r2 +...+ rk + 2(s1 + s2 + ... + sl) = m.
ТЕОРЕМА.
Всякая правильная дробь может быть единственным образом
представлена в виде суммы элементарных дробей,
соответствующих всем корням знаменателя.

6.

При выполнении разложения правильной
рациональной дроби
Pn ( x)
Qm ( x)
в сумму простых дробей обычно используют так
называемый метод неопределенных
коэффициентов. Он состоит в следующем:
Для данной дроби пишется разложение, коэффициенты
которого считаются неизвестными.
После этого обе части полученного равенства
приводятся к общему знаменателю.
У получившихся в числителе многочленов
приравниваются коэффициенты при одинаковых
степенях переменной.
В результате получается система m линейных
уравнений с m неизвестными, которая в данном случае
имеет единственное решение.

7.

ПРИМЕР 1.
x2 x 7
A
B
C
х 1 х 2 ( х 2) 2
( x 1)( x 2) 2
A( х 2) 2 B ( х 1)( х 2) C ( х 1)
( х 1)( х 2)
2
х2 + х + 7 А(х + 2)2 +В(х + 2)(х – 1) + С(х – 1).
Для определения коэффициентов А, В, С получаем систему:
A B 1
C 4A B 1
4 A 2 B C 7
Итак, искомое разложение имеет вид
x2 x 7
A 1
B 0.
C 3
1
3
.
2
2
х 1 ( х 2)
( x 1)( x 2)

8.

ПРИМЕР 2.
х 7
А
Вх С
2
( х 1)( х 2 х 5) х 1 х 2 2 х 5
А( х 2 2 х 5) ( Вх С )( х 1)
( х 1)( х 2 2 х 5)
х 7 А( х 2 2 х 5) ( Вх С )( х 1)
А В 0
2 А В С 1
5А С 7
А 1
В 1.
С 2
Итак, искомое разложение имеет вид
х 7
( х 1)( х 2 2 х 5)
1
х 2
.
2
х 1 х 2х 5

9. Интегрирование простых дробей.

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к
интегрированию многочлена, интеграл от которого является
табличным, и правильной рациональной дроби, что приводит
к нахождению интегралов следующих четырех типов:
Adx
1)
A ln x a C ;
x a
2)
3)
Adx
( x a)
s
A
( s 1)( x a )
( Ax B )dx
2
x px q
;
s 1
C , s 1;
4)
( Ax B )dx
2
( x px q)
s
, s 1.
При этом многочлен x2 + px + q не имеет вещественных
корней, т.е. D = p2 – 4q 0.

10.

Выделим полный квадрат по х в знаменателях двух
последних дробей и сделаем замену переменной:
2
p
p 2
2
x px q x q
2
4
3)
t 2 a2
p
Ap
x t , ( Ax B )dx At B
dt .
2
2
( Ax B )dx
2
2
At
(
B
Ap
/
2
)
A
d
(
t
a
)
2
dt
2
2
2
2
x px q
2 t a
t a
Ap
dt
Ap 1
t
A
2
2
B
ln(
t
a
)
B
arctg
C
2
2
2 t a
2
2 a
a
A
ln( x 2 px q )
2
Ap
2
2x p
arctg
C.
B
2 4q p 2
4q p 2

11.

4)
Ap
dt
A d (t 2 a 2 )
B
2
s 2 2
2
2
s
2 (t a )
( x px q )
(t a 2 ) s
( Ax B)dx
Ap
2
s 1 B 2 I s ,
2( s 1)( x px q )
A
где интеграл
Is
dt
(t 2 a 2 ) s
вычисляется по рекуррентной формуле
t
Is
(2s 3) I s 1 ,
2( s 1)a 2 (t 2 a 2 ) s 1
1
s 2,3,....

12. Понятие рациональной функции от нескольких переменных.

Под рациональной функцией двух переменных u и v понимается
функция R(u, v), представимая в виде
P(u , v)
R(u , v)
,
Q(u , v)
где P и Q – многочлены относительно u, коэффициенты которых
являются многочленами относительно v.
2
3 5
5
u
v
u
v 7
Например
R (u , v)
.
2
u v
Если переменные u и v, в свою очередь, являются функциями
переменной х, то функция R(u(х),v(х)) называется рациональной
функцией от u(х), v(х).
2
3
x
1
x
Например
f ( x)
R ( x, 1 x 2 ).
5 x 8(1 x 2 )
Аналогично можно ввести понятие рациональной функции от m
переменных.

13. Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических функций

• Интегралы вида R (sin x, cos x ) dx.
Так называемая универсальная тригонометрическая
подстановка
x
t tg , x ( , ),
2
сводит данный интеграл к интегралу от рациональной
дроби, так как
sin x
2t
1 t
ПРИМЕР.
2
,
cos x
1 t2
1 t
2
,
x 2arctgt ,
dx
2dt
1 t
dx
(1 t 2 )2dt
dt
x
ln tg C.
sin x
2
t
2
2t (1 t )
2
.

14.

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к
громоздким вычислениям. Вместе с тем другие методы иногда
позволяют вычислить данный интеграл значительно быстрее. В
частности, подстановки вида
t = cosx, x (0, );
t = sinx, x (– /2, /2);
t = tqx, x (– /2, /2).
ПРИМЕР 4.
dx
sin x cos3 x
sin xdx
d cos x
dt
sin2 x cos3 x (1 cos2 x ) cos3 x (1 t 2 ) t 3
ПРИМЕР 5.
dx
cos xdx
d sin x
dt
1 t
1 sin x
cos x cos2 x 1 sin2 x 1 t 2 ln 1 t C ln 1 sin x C
ПРИМЕР 6.
dx
dx
2
2
2 2
(
1
tg
x
)
d
(
tgx
)
(
1
t
) dt
cos6 x cos4 x cos2 x

15.

m
n
sin
x
cos
xdx.
• Интегралы вида
Рассмотрим некоторые случаи, когда когда m и n
целые (не обязательно положительные) числа. Например
2 k 1
n
2 k
n
sin
x
cos
xdx
(
1
cos
x
)
cos
xd cos x (1 t 2 ) k t n dt;
m
2 k 1
sin
x
cos
xdx sin m x(1 sin 2 x) k d sin x t m (1 t 2 ) k dt;
sin
2 k 1
x cos
k
2l 1
2k
2l
sin
x
cos
x sin x cos xdx
xdx
l
k
l
1 cos 2 x 1 cos 2 x sin 2 x
1 1 cos 2 x 1 cos 2 x
dx
d cos 2 x
4
2
2
2
2
2
1
2k l 2
k
l
(
1
t
)
(
1
t
)
dt.

16.

Если оба показателя m и n положительны и четны
(или один из них равен 0), то целесообразно применять
формулы понижения степени
1 cos 2 x
sin x
,
2
2
Например
1 cos 2 x
cos x
.
2
2
2
1
1 cos 2 x
2
(
1
2
cos
2
x
cos
2 x)dx
cos
xdx
2 dx 4
4
x sin 2 x 1
(1 cos 4 x)dx x sin 2 x x sin 4 x C
4
4
8
4
4
8
32
3 x sin 2 x sin 4 x
C.
8
4
32

17.

sin x cos xdx.
• Интегралы вида
Интегралы этого типа непосредственно вычисляются,
если в них подинтегральные функции преобразовать
согласно формулам
1
sin x cos x sin( ) x sin( ) x ,
2
1
sin x sin x cos( ) x cos( ) x ,
2
1
cos x cos x cos( ) x cos( ) x .
2
Например
1
1
1
sin
2
x
cos
xdx
(sin 3x sin x)dx cos 3x cos x C.
2
6
2

18. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

• Интегралы вида
ax b r1
x,
R
cx d ,
...
rn
ax
b
,
dx,
cx d
где rk Q (k = 1, 2, … , n), a, b, c, d R, ad – bc 0,
подстановкой
ax b
tp
cx d
(p – общий знаменатель рациональных чисел r1,r2, … , rn)
приводятся к интегралу от рациональной функции одной
переменной t. Например
x 1
3
(
x
2
)
dx
x 1
x 1 3
1 t3
t x
,
3
x 1
t 1
dx
6t
3
2
(t 1)
2
dt
6
t 2 (3t 2 1)(1 t 3 )
3
(t 1)
2
dt.

19.

Интегралы вида
x, ax2 bx c dx.
R
После выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и
замены переменной интеграл может быть сведен к интегралам от
функций следующих трех видов, каждый из которых может быть
вычислен с помощью соответствующей тригонометрической
подстановки:
2
2
1) R u , a u – подстановка u =acost или u =asint;
2) R u , a 2 u 2 – подстановка u =atgt или u =actgt;
a
u, u 2 a 2
a
R
u
3)
– подстановка
или u
.
cos t
sin t

20.

ПРИМЕР 7.
x 2tgt, dx
2
4 x dx
2dt
cos2 t
2
4 x 4(1 tg t )
cos t
2
2
cos tdt
4
cos t
,
2
2
d sin t
2
(1 sin t )
2
2
dy
2 2
(1 y )
4dt
cos3 t
.
Итак, искомый интеграл мы свели к интегралу от
рациональной дроби.

21. Спасибо за внимание!