24-28_ФНП

1.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ

2. 24. Понятие функции двух переменных. Способы задания функции двух переменных, область ее определения.

3.

1. Определение функции нескольких
переменных
y
S = xy
x
z
V = xyz
x
y

4.

Определение Если каждой паре (x;y) значений двух,
независимых друг от друга, переменных x и y, из
области их изменения D, соответствует
единственное значение величины z, вычисляемое по
определённому закону, то говорят, что z есть
функция двух независимых переменных x и y,
определенная в области D.
z f x, y или z z x, y

5.

Способы задания функции двух переменных
• Табличный (таблица)
• Аналитический (формула)
• Графический (график)
• Словесный (словесное описание функциональной
зависимости)
S = xy
x
0
1
1,5
2
3
1
0
1
1,5
2
3
2
0
2
3
4
6
3
0
3
4,5
6
9
4
0
4
6
8
12
y

6.

Определение Совокупность пар (x;y) значений x и
y, при которых функция z = f (x, y) имеет смысл,
называется областью определения или областью
существования этой функции.
Геометрически: если каждую пару значений x и y
изобразить точкой М (х,у) в плоскости Оху, то
область определения функции изобразится в виде
некоторой совокупности точек на плоскости.

7.

• Линия, ограничивающая область определения –
граница области
• Точки области, не лежащие на границе –
внутренние точки области
• Область, состоящая из одних внутренних точек –
открытая (незамкнутая)
• Если к области относятся и точки границы –
замкнутая область

8.

Пример 1:
Найти область определения функции z = 2x – y
Аналитически выражение z = 2x – y имеет смысл при любых
значениях x и y. Следовательно, естественной областью
определения функции является вся плоскость Оху.
у
О
Рис. 1
х

9.

Пример 2:
Найти область определения
функции
z 1 x2 y2
2
2
1 x y 0
или
x y 1
2
2
Граница области определения: x 2 y 2 1
Окружность с центром С(0; 0), радиусом R = 1
Т.к. неравенство – нестрогое, то точки границы
ПРИНАДЛЕЖАТ области определения
Граница делит координатную плоскость на две части:
внутреннюю и внешнюю части круга.

10.

Берем точки из каждой части
Проверяем выполнение
неравенства
у
1
1 x2 y 2 0
Внешняя часть круга:
Точка А(2;0)
2
2
1 2 0 0
3 0 - не верно!
Значит, А D( z )
Внутренняя часть круга:
Точка О(0;0)
2
2
1 0 0 0
1 0 - верно!
Значит, О D( z )
А
О
1
Рис. 2
2х

11.

ОТВЕТ: областью определения являются внутренние точки
круга радиуса 1 с центром в начале координат и на границе
этого круга.

12.

Пример 3:
Найти область определения
z ln x y
у
О
х
функции

13. 25. Частные и полное приращения функции двух переменных

14.

Рассмотрим функцию двух переменных z f x, y
Зададим аргументу х приращение x ,
а аргумент у оставим постоянным у const
Определение
Частным приращением функции
z f x, y по х называется разность
xz f ( x x, y ) f ( x, y )

15.

Рассмотрим функцию двух переменных z f x, y
Зададим аргументу у приращение у ,
а аргумент х оставим постоянным х const
Определение
Частным приращением функции
z f x, y по у называется разность
уz f ( x, y у ) f ( x, y )

16.

Рассмотрим функцию двух переменных z f x, y
Зададим аргументу х приращение
а аргументу у приращение
Определение
у
x,
Полным приращением функции
z f x, y называется разность
z f ( x х, y у ) f ( x, y )

17. 26. Частные производные функции двух переменных.

18.

Определение Если существует предел
отношения частного приращения функции z по х к
приращению x, вычисленный при x 0 и
постоянном значении у
f ( x x, y ) f ( x, y )
xz
lim
x 0
у const
x
lim
x 0
у const
x
,
то он называется частной производной (первого
порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и
обозначается
z
z x
f x ( x, y )
x

19.

Определение Если существует предел
отношения частного приращения функции z по у к
приращению у, вычисленный при у 0 и
постоянном значении х
f ( x, y у ) f ( x, y )
уz
lim
у 0
х const
у
lim
у 0
х const
у
,
то он называется частной производной (первого
порядка) функции z = f (x, y) по переменной у и
обозначается
z
z у
f у ( x, y )
у

20.

Из определения следует, что на момент
дифференцирования функция z является
функцией
одной
переменной
и,
следовательно, при нахождении частных
производных
справедливы
обычные
правила и формулы дифференцирования
функций одной переменной.
При вычислении z x полагают y const ,
а при вычислении z y полагают x const .

21.

Пример 7: Найти частные производные функции
z x 3 3x 2 y 2 y 3 1
z x y const ( x3 3x 2 y 2 y 3 1) x
3x 2 3 y 2 x 0 0 3x 2 6 xy
3
2
3
z y x const ( x 3x y 2 y 1) y
0 3x 1 6 y 0 3 x 6 x
2
2
2
2

22.

Пример 8:
Найти частные производные функции
z x y const
( x y ) x y x y 1
z y x const
y
( x ) y x ln x
y
z x
y
Продифференцируем как степенную
функцию по формуле
(u n ) n u n 1 u
Продифференцируем как показательную
функцию по формуле
(au ) au ln a u

23. 27. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанной производной от последовательности дифференцирования.

24.

Определение
Частной производной n-го порядка функции
нескольких переменных называется частная
производная первого порядка от частной
производной (n-1)-го порядка той же функции.
Например, для функции 2-х переменных имеем:
z xx ( z x ) x
z yy ( z y ) y
z xy ( z x ) y
z yx ( z y ) x
смешанные
производные

25.

Равенство смешанных производных
Теорема (о независимости смешанной
производной от последовательности
дифференцирования)
Две смешанные частные производные
одной и той же функции, отличающиеся
лишь порядком дифференцирования, равны
между
собой
при
условии
их
непрерывности.
z xy z yx

26.

Пример: Для развлечения
найдите все частные
2
2
производные 2-ого порядка функции z x 2 xy и
проверьте равенство z
xy z yx
z x y const ( x2 2xy 2 ) x 2x 2 y 2 1 2 x 2 y 2
z y x const ( x2 2xy 2 ) y 0 2x 2 y 4xy
Теперь
z xx (2 x 2 y 2 ) x 2
z yy ( 4 xy ) y 4 x
z xy (2 x 2 y 2 ) y 4 y
z yx ( 4 xy ) x 4 y
z xy z yx .

27. 28. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

28.

Определение Точка M x ; y
называется
0
0
0
точкой локального максимума (минимума)
функции z = f (x, y), если для всех точек М(х; у) из
малой окрестности точки M x ; y
0
0
0
выполняется неравенство
f x 0 ; y 0 f ( x; y ) , f x 0 ; y 0 f ( x; y )
Точки минимума и максимума функции
называются точками экстремума

29.

ТЕОРЕМА (Необходимые условия экстремума)
Если точка M 0 x 0 ; y 0 является точкой экстремума
функции z = f (x, y), то частные производные
первого порядка данной функции в точке M
0
равны нулю:
z
M0 0
y
z
M0 0
x
и
или хотя бы одна из
частных производных первого порядка не
существует.
Точки M 0 x 0 ; y 0 , удовлетворяющие условию
теоремы, называются стационарными или критическими точками функции.

30.

ТЕОРЕМА (Достаточные условия экстремума)
Пусть функция z = f x; y
имеет непрерывные частные производные до
второго порядка включительно в некоторой
области, содержащей критическую точку M x ; y
0
0
0
A z xx M 0 ; B z xy M 0 ; C z yy M 0 ;
A B
B C
Тогда

31.

1. Если 0 , то в точке M
0
экстремума нет;
2. Если 0 , то в точке M 0 экстремум есть,
причем
при A 0, C 0 точка M 0 является точкой
минимума,
при A 0, C 0 точка M 0 является точкой
максимума;
3. Если 0 , то в точке M экстремум может
0
быть, а может не быть.

32.

Пример:
Исследовать функцию на экстремумы
3
3
z
x
y
9 ху
1.
2. z x 4 y 4