3_Sistemy_lineynykh_uravneniy_Metod_Kramera_Metod_Gaussa

1.

Решение систем линейных
уравнений по формулам
Крамера

2. Теорема Крамера

1. Теорема Крамера
Теорема. Система n урав-нений
с n неизвестными,
определитель которой
отличен от нуля, всегда имеет
решение и притом
единственное.

3.

Решение находится следующим образом:
•значение каждого из неизвестных равно
дроби, знаменателем которой
является определитель системы
•числитель получается из определителя
системы заменой столбца
коэффициентов при искомом
неизвестном на столбец свободных
членов.

4. Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn .

5.

Из коэффициентов при неизвестных
составим матрицу А, а из свободных
членов — матрицу-столбец В, т. е.
a11 a12
a21 a22
A
... ...
a
n1 an 2
... a1n
b1
... a2 n
b2
B
.
;
...
... ...
b
n
... ann

6. Определитель матрицы А обозначим ∆ и назовем определителем системы. Таким образом,

a11 a12
a21 a22
det A
... ...
an1 an 2
... a1n
... a2 n
.
... ...
... ann

7. Пусть ∆ ≠ 0. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x1, х2, ..., хn на столбец свободных

членов,
то получим n определителей (для n
неизвестных)
b1 a12
b2 a22
x1
... ...
bn a2 n
... a1n
... a2 n
,
... ...
... ann

8.

a11 b1
a21 b2
x2
... ...
an1 bn
... a1n
... a2 n
,...,
... ...
... ann
a11 a12
a21 a22
xn
... ...
an1 an 2
...
...
...
...
b1
b2
.
...
bn

9. Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных урав­нений с n неизвестными запишутся так:

Тогда формулы Крамера для решения системы n
линейных уравнений с n неизвестными запишутся
так:
x1
x1
, x2
x2
,..., xn
или короче
xi
xi
, гдеi 1,2,...n.
xn

10. Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. ∆ = 0 и каждый определитель ∆xi = 0.
Это имеет место только тогда, когда
коэффициенты при неизвестных xi
пропорциональны, т. е. каждое
уравнение системы получается из
первого уравнения умножением обеих
его частей на число k. Очевидно, что при
этом система имеет бесчисленное
множество решений.

11.

2. ∆ = 0 и хотя бы один из определителей ∆ xi ≠ 0. Это имеет место только
тогда, когда коэффициенты при всех
неизвестных, кроме xi,
пропорциональны. При этом полу-чается
система из противоречивых уравнений,
которая не имеет решений.

12. 2. Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

Пример 1. Решить систему уравнений:
5x+3y=12
2x-y=7
Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определители ∆х и ∆у:
5
3
2 1
11, x
12
3
7
1
33; y
5 12
2 7
11.

13. Найдем значения х и у по формулам Крамера:

y
x 33
11
x
3, y
1.
11
11
Итак, решение системы есть (3;-1).

14. Пример 2. Решить систему уравнений 3x-2y=5 6x-4y=11

Решение. Вычислим определитель системы ∆ и
определитель ∆х и ∆у:
3 2
6 4
0, x
5
2
11 4
2, y
3
5
6 11
1.
Так как ∆ = 0, а ∆х ≠ 0, и ∆у ≠ 0, то система не имеет
решений (уравнения противоречивы).

15. Пример3. Решить систему уравнений: 2x-3y=11 6x-3y=33

Решение. Находим
2 3
6 9
0, x
11 3
33 9
0, y
2 11
6 33
0

16. Данная система имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны)