Лекция 4 2023

1. Курс лекций по теоретической механике

СОВРЕМЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Курс лекций по
теоретической
механике
Статика

2. СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Введение. Основные понятия. Аксиомы статики. Связи и реакции связей.
Лекция 2. Система сходящихся сил. Теорема о трех силах. Аналитическое определение
равнодействующей сходящихся сил.
Лекция 3. Произвольная плоская система сил. Момент силы относительно точки. Пара
сил. Теоремы о парах сил. Метод Пуансо. Главный вектор и главный момент. Уравнения
равновесия. Три формы уравнений равновесия. Теорема Вариньона.
Лекция 4. Плоские фермы. Основные понятия Методы расчета. Метод вырезания
узлов. Метод сечений ( метод Риттера). Графический метод определения усилий в
стержнях (метод Кремоны)
Лекция 5. Трение скольжения. Основные законы. Способы определения коэффициента
трения. Угол трения. Конус трения. Учет сил трения при решении задач на равновесие.
Сопротивление при качении.
Лекция 6. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. Центр тяжести.
Определение положения центра тяжести однородных тел. Центры тяжести простейших
фигур. Способы определения положения центров тяжести.
Лекция 7. Аналитическое определение главного вектора и главного момента. Уравнения
равновесия произвольной пространственной системы сил. Возможные случаи
приведения системы. Зависимость главного момента от выбора центра приведения.
Инварианты системы. Теоремы Вариньона.
Лекция 8. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. Центр тяжести.
Определение положения центра тяжести однородных тел. Центры тяжести простейших
фигур. Способы определения положения центров тяжести.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа. 1986 г. 416 с.
2. Бертяев В.Д. ,Макарова Л.Л., Маркелов С.С.и др. Примеры и задачи в теоретической механике
Ч1. Статика.Кинематика.
3. Бертяев В.Д. ,Макарова Л.Л., Маркелов С.С.и др. Примеры и задачи в теоретической механике
Ч2. Динамика. М: Ассоциации строительных вузов.2004г. 374с.
2

3.

Лекция 4
ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
■ ФЕРМОЙ называется жесткая конструкция, состоящая из стержней, соединенных на
концах шарнирами. Все стержни прямолинейные. Простейшая ферма представляет собой
треугольник с тремя узлами и тремя стержнями (рисунок 4.1).
■ УЗЕЛ- место соединения стержней.
Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в стержнях. Стержни фермы
работают только на растяжение или сжатие
Рисунок 4.1
3

4.

Лекция 4 (продолжение 4.2)
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.
Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом
как твердое тело.
Существуют три наиболее распространенных метода определения усилий в стержнях:
- метод вырезания узлов;
- метод сечений (метод Риттера);
- графический метод (метод Кремоны).
Рассмотрим все три метода расчета на примере одной фермы.
Задана плоская ферма со стержнями длиной а каждая. Ферма в точке А соединена с
неподвижным цилиндрическим шарниром, а в точке В опирается на катки. Ферма нагружена
двумя вертикальными сосредоточенными силами Р. Определить усилия в 4 и 5 стержнях
Освободим ферму от опор, заменив их
реакциями, и определим их методами
статики.
Составим
два
уравнения
равновесия:
4

5.

Лекция 4 (продолжение 4.3)
5

6.

Лекция 4 (продолжение 4.4)
МЕТОД ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ
6

7.

Лекция 4 (продолжение 4.5)
У фермы мысленно вырезаем по одному узлу, заменяя разрезанные стержни силами.
Вырезаем узел А (рисунок 4.2).
Рисунок 4.2
7

8.

Лекция 4 (продолжение 4.6)
Вырезаем следующий узел (рисунок 4.3)
Рисунок 4.3
8

9.

Лекция 4 (продолжение 4.7)
Вырезаем следующий узел (рисунок 4.4).
Рисунок 4.4
9

10.

Лекция 4 (продолжение 4.8)
МЕТОД СЕЧЕНИЙ (МЕТОД РИТТЕРА)
Рисунок 4.5
10

11.

Лекция 4 (продолжение 4.9)
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД КРЕМОНЫ)
Мысленно вырезаем узел А, заменяем рассеченные стержни силами и строим
силовой многоугольник. (рисунок 4.6). При этом известные силы (у нас RА=Р)
откладываем в заданном масштабе. Построенный многоугольник должен быть
замкнутым, поэтому мы получаем реальные направления усилий в стержнях.
Стержень 1 сжат. стержень 2 растянут.
Рисунок 4.6
Аналогично вырезаем следующие узлы стержней. Метод используется редко из-за
неточностей построения.
11

12.

Задача. На ферму, показанную на рис. 4.7, действуют силы F1 = 1 кН, F2 = 2 кН и
F3 = 3 кН. Определить реакции опор, усилия в стержнях фермы методом
вырезания узлов. Для отмеченных стержней проверить усилия методом сечений.
Рисунок 4.7
Рисунок 4.8
Обозначим все узлы буквами, а стержни цифрами. Отбросим все опоры и
заменим их действие опорными реакциями R1, R2 и RB. Зададим
координатные оси. Полученная расчетная схема представлена на рис. 4.8.
Проверим ферму на статическую определимость. Ферма имеет 6 узлов и 9
стержней, т.е. У = 6, С = 9. Подставив эти значения в формулу С = 2У – 3,
получаем тождество 9 =( 2•6) – 3 = 9. Ферма статически определимая.
Для определения опорных реакций воспользуемся
уравнения равновесия для плоской системы сил.
первой
формой

13.

∑Fkx = R1 + F1 − F2 cos600 −RB cos300 = 0;
∑Fky = R2 − F2 sin60o −F3 −RB sin30o = 0;
∑MA(Fk ) = (−F1 ·1· tg60o )+( F2 cos60o ·1· tg60o )− (F2 sin60o ·4 )−( −F 3·4 )−( RB sin30o ·5 )=0
Из последнего уравнения находим
1( F1 ·1·tg 60 ) ( F 2 cos60 ·1· tg 60 ) ( F 2 sin60 ·4 ) ( F 3·4)
5Sin 30
0, 4(1, 732 1, 732 6,928 12 7,571
RB
Подставив это значение в первые два уравнения находим:

14.

Теперь определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов.
Начинать вырезание можно с узла A или узла B, так как в них неизвестны
усилия только в двух стержнях. Начнем с узла A.
Вырежем узел A и рассмотрим его равновесие. На узел действует
сходящаяся система сил: реакции опор R1 и R2, а также усилия в стержне 1
– S1 и в стержне 2 - S2 . Усилия в стержнях направляем от узла в сторону
соответствующих стержней, т.е. мы предполагаем, что эти стержни
растянуты. В точке A поместим начало прямоугольной координатной
системы Axy. Расчетная схема для узла A показана на рис. 4.9.
В этом случае уравнения равновесия имеют вид
∑Fkx = R1 +S1 cos60о +S2 = 0;
∑Fky = R2 + S1 sin60о = 0.
Из второго уравнения находим
S1
Рисунок 4.9
R2
0.947
1.093кН
Sin 60 0.866
Из первого уравнения находим
S2 = −R1 −S1 cos600 = −6,557 −(−1,093) 0,5 = −6,01кН.
Знак « – » формально указывает, что оба стержня сжаты.

15.

Вырежем узел C и составим для него расчетную схему также, как это было
сделано для узла A (рис.4.10).
Уравнения равновесия имеют вид
∑Fkx = −S2′ + S4 = 0,
∑Fky = S3 = 0.
Так как S2\ = S2 = –6,01кН, то из уравнений находим
Рисунок 4.10
S4 = S2′ = −6,01кН, S3 = 0.
Следовательно, стержень 4 сжат, а в стержне 3 усилия нет.
Вырежем узел D. Расчетная схема для него показана на
рис. 4.11.
Неизвестными здесь являются усилия в стержнях 5 и 6 –
S5 , S6.
Рисунок 4.11

16.

Уравнения равновесия имеют вид
∑Fkx = F1 −S1′cos600 + S5 cos300 + S6 = 0,
∑Fky = −S1′sin600 −S3′ −S5 sin300 = 0.
Так как S1\ = S1 = –1,093кН, S3\ = S3 = 0, то из уравнений
находим
Рисунок 4.11
S5 = sin30 0 1 (−S1′sin600 −S3′ )= 0,51 −(−1,093) 0,866
− 0 =1,893кН,
S6 = −F1 + S1′cos600 −S5 cos300 =
=−1+(−1,093) 0,5 −1,893 0,866 = −3,186кН.
Стержень 5 растянут, стержень 6 сжат.
Так как усилия в стержнях 4, 5 и 6 найдены, то можно переходить
к узлу E или H.

17.

Вырежем узел E. Расчетная схема для него показана на рис.
4.12. Неизвестными здесь являются усилия в стержнях 7 и 9
– S7, S9.
Рисунок 4.12
Уравнения равновесия имеют вид
∑Fkx = −S4′ −S5′ cos300 + S9 = 0,
∑Fky =S5′ sin300 + S7 − F3 = 0.
Так как S'4 = S4 = –6,01 кН и S'5 = S5 = 1,893 кН, то из
уравнений находим
S9 = S4′ +S5′ cos300 = 6,01+1,893 0,866 = −4,371кН,
S7 = F3 −S5′ sin300 = 3 −1,893 0,5 = 2,054кН.
Стержень 7 растянут, а стержень 9 сжат.
Вырежем узел H. Расчетная схема для него показана на рис.4.13.
Неизвестным здесь является усилие в стержнях 8 – S8.
Уравнения равновесия для этого узла имеют вид
∑Fkx = −S6′ − F2 cos600 + S8 cos600 = 0,
∑Fky = −S7′ −S8 sin600 −F2 sin600 = 0.
Так как S'6 = S6 = -3,186 кН, то из первого уравнения находим
S61
3,186
S8 F2
2
4,372кН
Sin 60
0,5
Рисунок 4.13
Стержень 8 сжат. Второе уравнение используем для проверки
уже найденного усилия S7.

18.

S7′ = −S8 sin600 − F2 sin600 = −(−4,372) 0,866 − 2 0,866 = = 2,054кН.
Усилия в стержне 7, найденные при вырезании узлов E и H, совпали.
Узел B можно использовать для проверки выполненного расчета. Вырежем
узел B и рассмотрим его равновесие. Усилия в стержнях 8 и 9 будем считать
неизвестными. Из уравнений равновесия для узла B определим эти усилия.
Если они совпадут с соответствующими усилиями, найденными выше, то
расчет верен, если нет – то следует искать ошибки в предыдущих
вычислениях. Расчетная схема для узла B показана на рис. 4.14.
Уравнения равновесия для узла B имеют вид
∑Fkx = −S9′ −S8′ cos600 − RB cos300 = 0,
∑Fky =S8′ sin600 + RB sin300 = 0.
Решая эту систему уравнений, находим
S8 RB
Рисунок 4.14
Sin 30
0,5
7,571
4,371кН
Sin 60
0,866
S9 S8 Cos 60 RB Cos 30 ( 4,371)0,5 7,571 0,866 4,371кН
Так как значения усилий в стержнях 8 и 9 совпали, то выполненные
вычисления верны.

19.

Проверим усилия в отмеченных стержнях методом сечений. Рассечем ферму на
две части так, чтобы в сечении оказались отмеченные стержни. Отбросим правую
часть, а ее действие на оставшуюся конструкцию заменим усилиями в стержнях 4, 5
и 6 – S4 , S5 , S6 (рис. 4.15).
Предполагая, что стержни в сечении растянуты, направим все усилия в сторону
отброшенной части фермы.
Для составления уравнений
равновесия воспользуемся второй
формой уравнений.
Здесь CD = AC tg60o =1
Рисунок 4.14
3 =3м.

20.

Решая систему уравнений, находим
Значения усилий в стержнях 4, 5, 6, найденные двумя способами, совпали.