e72e7ed43e134c07ae35c87bba33b11d-1

1.

Применение
определенного
интеграла

2. Вычисление площади криволинейной трапеции Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не

меняющей на
отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и
отрезком [а;b].
2

3. Вычисление площади криволинейной трапеции

a)
y
b
S f ( x)dx;
a
a
b
y f (x)
x
3

4.

Вычисление площади плоской фигуры
b
S f 2 ( x) f1 ( x) dx .
a
4

5. План вычисления площади плоской фигуры

1.
Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру,
площадь которой надо найти.
2.
Записываем формулу для вычисления площади искомой
фигуры
3.
Находим пределы интегрирования
4.
Вычисляем искомую площадь по формуле
5

6.

Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
y x 3, y 0, x 1, x 2
2
1)
y
x
х 3 3 2 223 3 13 3 8
1
S ( x 32) dx х3 х 23 * 2 13 *1 68 31
S ( x 3) dx3 1 3 х 3 3 * 2 3 3 *13 36 3
1
3
3
1
3
3
3
1
7 16
3 7 16
33 3
6
3 3
2
22

7.

Вычисление объемов тел
y
B
A
y f ( x)
x
a
b
b
Vx [ f ( x)] dx.
2
a
Пусть V – тело, которое получается в
результате вращения вокруг Ox
криволинейной трапеции с основанием
[a;b], ограниченной y = f(x).
7

8. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, заданной линиями:

1)
y x 2 1, y 0, x 1, x 2
y
5
3
х
х
V ( x 2 1) 2 dx ( x 4 2 x 2 1) dx 2 *
3
5
1
1
5
3
5
3
2
2
1
1
32 16
2
2
5
3
2
2
*
2
2
*
1
2
х 2
2
х
2
2
4
2
5х 5 3 х 3
1 ( x 1) dx 1 ( x 2 x 1) dx V 55 ( x22 * 133) 2 dxх 1 ( x54 2 x 23 1) dx
2 *
1
1
3
5
5
3
5
3
1
2
2
1
1 2 178 3
32 16
2 * 2 2 * x
1 25 223 11 5
1
32 16
25
5 32 *
3 52
52
3
3
5
3
15
2
2
*
1
2
4
х
х
2
2
2
3
( x 1) dx ( x 2 x 1) dx 5 2 *3 х 5
5 3
3
5
1
1
1
25
15
23
13
1 2 178
32 16
2 * 2 2 * 1 2 1
3
3
5 3
15
5 3
5
5
2
2
8

9. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, заданной линиями:

3)
y 1 x2 , y 0
1 x 2 0 1 x 2 0 x 2 1 х1 1, х2
y
2 a 1, b 1
1 x 0 1 x 0 x 1 х1 1, х2 1
2
2
a 1, b 1
V 1 x dx 2 (1 x ) dx
2
V 1 x dx (1 x )
1
1
x
1
1
3
3
3
1
1
3 1
1 2
1
3 1 3 ( 1)
1
2
2
2
1
(
1
)
х
х
2
2
2
2
1 х 1 1 1
V1 x dx
1 x ) dx
1 x (dx
(1 x ) хdx
3 3 3
33 1 3 1 3 3
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
13 13 ( 1) 3 ( 1 )23 2 24 2 4
1 1 1 1
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
9
2 1

10. Решение физических задач с применением интеграла

Вычисление работы движущегося тела
x2
A F ( x)dx
x1
t2
A N (t )dt
A - работа,
F – сила,
N - мощность
t1
Вычисление перемещения движущегося тела
t2
s (t )dt
t1
t2
a(t )dt
t1
S-перемещение
v-скорость
а-ускорение
10

11. Решение физических задач с применением интеграла

Вычисление массы тела
m – масса тонкого стержня,
x2
m ( x)dx
x1
ρ - линейная плотность
Вычисление электрического заряда в проводнике с током
q – электрический заряд,
I –сила тока
11

12. Пример 1. Нахождение пути по заданной скорости.

10
0
12

13. Пример 2. Вычисление электрического заряда в проводнике с током

Какой
заряд
q
проходит
через
поперечное
сечение
проводника за промежуток времени от t1=2c до t2=6c, если
сила тока изменяется в соответствии с уравнением: I=2+t, где
сила тока в амперах, время в секундах?
6
2
13

14.

Пример3. Какую работу надо совершить, чтобы
растянуть пружину на 4 см., если известно , что
от нагрузки в 1Н она растягивается на 1см?
(См. справочный материал.)
Решение:
Согласно закону Гука , сила
Х Н, растягивающая пружина
на х м , равна Х=k x.
коэффициент
пропорциональности k найдем
из условия: если х=0,01м, то
Х=1Н; следовательно,
k=1\0,01=100 и Х=100х. Тогда 0,04
A 100 xdx 50 x
0
2
0, 04
0
0,08 Дж.