Лекции 10-11 новые

1.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.1. Вырожденный электронный газ
1. Электроны – фермионы – полуцелый спин
Дирака
квантовая статистика Ферми -
0
2. k ( r ) k exp( ik r ) - волновая функция свободного электрона
3. В объеме V электронные состояния квантованы, что отвечает определенному
значению импульса, принимающего дискретные значения. В импульсном
3
пространстве квантовые состояния делят весь объем V p (4 pF / 3) на микрообъемы
(2 )3 / V так что число разрешенных состояний в импульсном пространстве равно:
4 p3F
p3F
ne 2
2 3 V Ne
3
3(2 ) / V 3
pF (3 2 )1 / 3 ( Ne / V)1 / 3 ;
F (p2F / 2m) (3 2 )2 / 3 ( 2 / 2m)( Ne / V)2 / 3
F 2 / pF 2 a
p F k F

2.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
А. Полная энергия электронного газа при нулевой температуре:
E
3(3 ) N e N e
Vp
V
4
p
dp
2 3
3
10m
2 m 0
10m
V
pF
5
F
2
2
2/3
2
2/3
Б. Давление электронного газа при этом можно найти из соотношения
PV (2/3) E
(3 2 ) 2 / 3 2 N e
P
5m
V
5/3
Оценим давление вырожденного ферми-газа, приняв, что плотность есть:
N e / V 1022 электронов/см3, тогда получим P 105 бар !!!

3.

4.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
В. Плотность числа состояний электронов
Введем плотность числа состояний, согласно соотношению:
3/ 2
состояния
1 / 2
Плотность состояний
dN e
V 2m
( )
2 2
d
2
k BT
f
F

5.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.2. Термодинамика свободного электронного газа
В общем случае, электронная подсистема, находящаяся при ненулевой температуре,
требует для расчета ее свойств знания энергетического спектра. Поскольку
фактически энергетический спектр электронов в конденсированном теле является
непрерывным (расстояния между отдельными уровнями существенно меньше самих
значений энергии), то можно перейти в исходных формулах для термодинамических
величин от суммирования к интегрированию (сравни с соотношением
для
фононов)). Если воспользоваться понятием плотности числа электронных
состояний, то получим (заметим, что интегрирование распространяется на всю
область энергий; в запрещенных состояниях =0):
(T , N e ) k BT ( ) ln exp ( ) / k BT 1 d
0
Ne ( ) exp ( ) / k BT 1 d
0
E ( )f FD ( )d (T , Ne ) химический потенциал
0

6.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
Вся термодинамика электронного газа «разыгрывается» в тонком «пояске» вблизи
энергии Ферми !!!
Вычисления дают (см. подробнее учебники):
2
E E ( F ) ( k B T ) 2 ( F )
6
Теплоемкость электронного газа:
2
E
π
ce k 2BT (ε F )
T 3
Таким образом, в конденсированном теле, где есть свободные электроны, общая
теплоемкость складывается из фононной (закон Дебая) и электронной:
c c ph ce T 3 T !!!
где ( 2 / 3)k B2 ( F ) постоянная Зоммерфельда

7.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.3. Электроны в кристаллической решетке
В кристалле электроны находятся в периодическом потенциале
электрон
Что теперь произойдет с электронами? Какова будет их волновая
функция и каковы их энергетические состояния? Наконец, возможно самое
главное, почему все конденсированные тела, образуясь из газовой фазы, одни
становятся диэлектриками, другие проводниками или полупроводниками?

8.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.3.1. Теорема Блоха
U( r a) U( r )
Периодический потенциал
решетки
k (r ) exp(ik r ) uk (r )
u ( r a) u k ( r )
k
Ф.Блох
(1905-1983)
(Ф.Блох, 1929г.)
- периодическая функция с периодом решетки
Кажется, что теорема Блоха решает вопрос о поведении электронов в кристалле.
Однако, она не дает ответа на вопрос, почему существуют проводники,
полупроводники и диэлектрики…..
3.3.2. Энергетический спектр электронов в кристалле
Одно из важнейших следствий движения электронов в периодическом
потенциале – наличие энергетических щелей (зон запрещенных состояний).
Выясним качественно, откуда появляются такие зоны.

9.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
Прежде всего заметим, что для свободных электронов энергия k
2 2
/ 2m
является непрерывной функцией волнового вектора;
функции подобных
волновые
электронов - бегущие волны, несущие импульс p k
Вместе с тем в периодической решетке подобные
волны должны испытывать отражения от
ионных остовов (брэгговские отражения), что
приводит к возможности интерферировать
волнам, отраженным от ионных остовов
ближайших ионов. В этом случае возможно
возникновение стоячих электронных волн, что
означает отсутствие при определенных условиях
на длины этих волн решений уравнения
Шредингера даже в виде блоховских волн. Таким
образом, энергия электронов в кристалле также,
как и в атоме, имеет разрешенные и
запрещенные уровни энергии, только в
кристалле энергия электронов в может занимать
непрерывные зоны разрешенных состояний,
разделенных зонами запрещенных состояний.

10.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
Образование запрещенных зон в кристалле
ЗАПРЕЩЕННАЯ
ЗОНА
ВТОРАЯ
РАЗРЕШЕННАЯ
ЗОНА
ЗАПРЕЩЕННАЯ
ЗАПРЕЩЕННАЯ
ЗОНА
ЗОНА
ПЕРВАЯ
РАЗРЕШЕННАЯ
ЗОНА
Таким образом, в кристалле
электроны могут не иметь при
определенных импульсах
ε
никаких энергетических
состояний –
запрещенные зоны
энергий
Зонная картина энергетического
электронного спектра дает
возможность классифицировать
твердые тела по типу
заполнения этих зон

11.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.3.3. Классификация твердых тел (по зонной структуре)
- свободные состояния
- занятые состояния
энергия
- уровень Ферми
полупроводник
kBT
металл
диэлектрик
kBT
- ширина запрещенной зоны
Последнюю заполненную зону называют
валентной, а последующую частично
заполненную – зоной проводимости

12.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.3.3. Классификация твердых тел (по зонной структуре)
А). Диэлектрики
Если последняя из разрешенных зон полностью заполнена электронами, но
все более высокие по энергии зоны целиком свободны, то такие тела называются
диэлектрикам (изоляторами); для типичного изолятора – алмаза:
5,4 эВ 6,3 104 K
Б). Полупроводники
В полупроводниках при T=0 валентная зона полностью заполнена, а зона
проводимости – свободна, аналогично диэлектрикам; для типичного
полупроводника Si : 1,17 эВ 1,4 10 4 К
В). Металлы
Если последняя разрешенная зона заполнена неполностью, то в этом
случае даже слабое внешнее электрическое поле вызывает появление
электрического тока. Такие тела носят название металлов; типичными металлами
являются щелочные (Li, Na, K, Cs, Rb), а также благородные (Cu, Ag, Au).

13.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.4. Кинетические явления в электронном газа (металлы)
Кинетика (физическая кинетика) – наука о неравновесных свойствах
конденсированных тел, т.е. в отсутствии термодинамического равновесия
2
1
Температура в точке 1 выше, чем в точке 2
или
электрический потенциал
в точке 1 выше, чем в точке 2
(нарушенное термодинамическое равновесие !)
Интеграл столкновений (учитывает столкновения
электронов между собой, с фононами, дефектами и
примесями)
Кинетическое уравнение Больцмана для электронов

14.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.4. Электропроводность электронного газа (металлы)
Вычислим электропроводность электронного газа в металлах. Будем
считать, что во внешнем электрическом поле распределение электронов по
координатам не меняется, а меняется только по импульсам. Тогда из уравнения
Получаем:
eE
f f0
f
p
где принято, что
I( f )
f0 – равновесная функция распределения для электронов. Полагая, что
f f 0 f1 , f1 f0
Получаем из
f 0
f1
eE
p
Но
f0 / p ( f0 / )( / p) v( f 0 / )
f f0

15.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
Откуда
f1 eEv ( f0 / )
По определению, плотность электрического тока есть
d3 p
j 2e v f
(2 )3
Тогда
d3 p
d3 p
d3 p
j 2e v f
2e v ( f 0 f1 )
2e v f1
(2 )3
(2 )3
(2 )3
f
d
e2 v(v E) 0 ( )
4
Выше учтено, что равновесная функция распределения – четная функция
энергии и интеграл от нее равен нулю. После интегрирования по углам и учете
того, что f0 / ( F ) , получаем
1 2
j e E v 2F ( F )
3

16.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
Окончательно получаем известный закон Ома
j E
1
3
e2 v 2F ( F )
где величина электропроводности есть
e2 ne
m
При этом учтено, что
( ) ( F ); v2F 2 F / m; ne 2Vp /(2 )3 2(4 pF2 / 3) /(2 )3
Таким образом, электропроводность зависит только от времени релаксации и
плотности электронов

17.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.4. Теплопроводность электронного газа (металлы)
r
r0
T (r ) T (r0 ) (r r0 ) T
1
(r )
1
f e ( , r ) exp
k BT
f
r f e e (r )
T (r )
k BT
По определению, тепловой поток имеет вид
d3 p
2 f 0
d
q 2 v f1
v(v
T)
(
)
d
(2 )3
T
4

18.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
Откуда получаем
1
q 2Tk B2 T ( F )v 2F
9
Таким образом, теплопроводность электронов в металле есть:
e
2
9
k B2T ( F )v 2F
Закон Видемана-Франца
e 2 k B
T
3 e
2

19.

4. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КОНДЕНСИРОВАННЫХ ТЕЛ
4.1. Магнитные моменты
Магнитные свойства конденсированных тел связаны с квантовыми свойствами входящих в них
частиц – атомов и молекул. Поэтому, чтобы понять магнитные свойства необходимо предварительно
кратко остановиться на магнитных свойствах отдельных микрочастиц.
В природе нет магнитных зарядов, поэтому согласно современной
физики, источником магнитного поля является ток.
Из электродинамики известно, что круговой ток создает магнитный
момент, величина которого равна
IS / c
I
где I - сила тока в плоском контуре, а S – его площадь (c – скорость
света).
Поскольку в атоме водорода электрон в кулоновском поле ядра движется по замкнутой траектории
(орбите), то с таким движением также связан магнитный момент, который носит название
орбитального:
e
2 r
e
e r / cT
me r
me vr
2me c
T
2me c
2
где величина тока равна I e / T (e, me – заряд и масса электрона, T – период его вращения по
орбите), а площадь контура (для простоты полагаем его круговым) есть S r 2 .

20.

Проекция орбитального момента количества движения на ось, перпендикулярную плоскости
орбиты
L z me vr
Проекция магнитного момента
e
z
Lz
2mc