04 NI-1 (2)

1.

2. 7. Неопределённый интеграл

7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.1 Основные понятия
7.2 Методы интегрирования
7.3 Интегрирование рациональных функций
7.4 Интегрирование тригонометрических функций
7.5 Интегрирование иррациональных функций

3. 7. Неопределённый интеграл

7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.1 Основные понятия
7.1.1 Первообразная и неопределённый интеграл
7.1.2 Свойства неопределённого интеграла
7.1.3 Таблица основных неопределённых
интегралов
7.1.4 «Неберущиеся» интегралы
7.1.5 Вычисление неопределённого интеграла

4. 7.1.1. первообразная и неопределенный интеграл

7.1.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть дана функция y = f(x) – функция одного аргумента.
Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на
интервале a; b , если f(x) является производной для F(х), то есть:
F ( x) f ( x)
x a; b
Замечание
Первообразных для функции f(x) может быть множество.
Пусть F(х) первообразная для функции f(x), тогда
F(х)+1, F(х)-133, F(х)+ , ... – тоже первообразные для f(x), так как
их производные равны f(x).
В общем случае F(х)+С (где С=const) – есть первообразная для
функции f(x).

5. 7.1.1. первообразная и неопределенный интеграл

7.1.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема
Любые первообразные функции f(x) отличаются на постоянное
слагаемое, то есть
если F1 ( x) и F2 ( x) - первообразные для функции f(x),
то F1 ( x) F2 ( x) C (C const ).
Множество всех первообразных функции f(x) называется
неопределённым интегралом от неё:
f ( x)dx F ( x) C
Операция нахождения неопределенного интеграла называется
интегрированием функции f(x). Она противоположна операции
дифференцирования.

6. 7.1.1. первообразная и неопределенный интеграл

7.1.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Геометрическая интерпретация неопределённого интеграла
Неопределённый интеграл представляет собой семейство
«параллельных» кривых у = F(x) + С , где каждому значению С
соответствует определённая кривая этого семейства.
y
y F ( x) C1
y F ( x)
0
x
y F ( x) C2

7. 7.1.1. первообразная и неопределенный интеграл

7.1.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема
Если функция f(x) непрерывна на a; b , то для неё существует
первообразная на этом интервале, а следовательно и
неопределённый интеграл.
Примеры
1
1 x2
1.
(arctg x)
2.
(5 ) 5 ln 5
3.
( x )
x
x
1
2 x
1
1 x 2 dx arctg x C
x
5
x
5
dx ln 5 C
1
x dx 2 x C

8. 7.1.2. свойства неопределённого интеграла

7.1.2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1.
Дифференциал от неопределённого интеграла равен
подынтегральному выражению:
d f ( x)dx f ( x)dx
2.
Производная от неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции:
f ( x)dx f ( x)
3.
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции
равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
d F ( x) F ( x) C

9. 7.1.2. свойства неопределённого интеграла

7.1.2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
4.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
a f ( x)dx a f ( x)dx
5.
Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух функций
равен сумме (разности) неопределённых интегралов от каждой
функции:
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
6.
Инвариантность формулы интегрирования:
если
f ( x)dx F ( x) C ,
то
f (u)du F (u ) C
(u ( x)).

10. 7.1.2. свойства неопределённого интеграла

7.1.2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Примеры
1
1
x
3
x
3
x
4
e
dx
x
4
e
C
2
x
x
2
(свойство 2)
cos3 2 x sin 2 3x cos3 2 x sin 2 3 x
C
d
arctgx
arctgx
sin(cos x)d (cos x) cos(cos x) C
(свойство 3)
(свойства 6 и 2)

11. 7.1.3. таблица основных неопределённых интегралов

7.1.3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.
0dx C
4.
1
x dx ln x C
2.
dx x C
5.
x
x
e
dx
e
C
3.
x
1
x dx 1 C
x
6.
a
a dx ln a C
x

12. 7.1.3. таблица основных неопределённых интегралов

7.1.3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
7.
sin xdx cos x C 11. tg xdx ln cos x C
8.
cos xdx sin x C
12.
ctg xdx ln sin x C
dx
9.
cos2 x tg x C
dx
x
13.
sin x ln tg 2 C
dx
10.
sin 2 x ctg x C
dx
x
14.
cos x ln tg 2 4 C

13. 7.1.3. таблица основных неопределённых интегралов

7.1.3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
15.
dx
1 x 2 arctg x C
16.
dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a C
17.
18.
dx
1 x arcsin x C
2
dx
x
arcsin C
2
2
a
a x

14. 7.1.3. таблица основных неопределённых интегралов

7.1.3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
19.
dx
1
x a
x 2 a 2 2a ln x a C
20.
dx
1
x a
a 2 x 2 2a ln x a C
21.
22.
dx
x a
2
2
dx
ln x x 2 a 2 C
x a ln x x a C
2
2
2
2

15. 7.1.4. «неберущиеся» интегралы

7.1.4. «НЕБЕРУЩИЕСЯ» ИНТЕГРАЛЫ
1.
e dx - интеграл Пуассона
2.
dx
ln x - интегральный логарифм
3.
cos x
x dx - интегральный косинус
4.
sin x
x dx - интегральный синус
x2

16. 7.1.5 вычисление неопределённого интеграла

7.1.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Примеры
1)
5
1
x 25 x dx xdx 5 25 x dx
5
5
2
1
5
x dx 5
6
5
2
1
52 x 2
dx
1
1
5
x
5 ln x x 2 52 C
1
1
5
5x
5 ln x x 2 25 C
6
(свойства линейности
4, 5 и формулы из
таблицы 3, 22)

17. 7.1.5 вычисление неопределённого интеграла

7.1.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Примеры
1
cos 2 x sin 2 x
2)
dx
dx
2
2
2
2
cos x sin x
cos x sin x
1
1
cos 2 x
sin 2 x
dx
dx 2 dx
2
2
2
2
2
sin x
cos x
cos x sin x cos x sin x
ctg x tg x C
(свойство линейности 5
и формулы из таблицы
9, 10)

18. 7.1.5 вычисление неопределённого интеграла

7.1.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Примеры
x
3)
1 dx
2
9 x
2
x 2 1 9 x 2
9 x
2
dx
9
1
x2 9 x2
dx 9 2
dx
dx
2
2
2
9 x
3 x
9 x
1
x
x
9 arctg C 3arctg C
3
3
3
(свойство линейности 4
и формула из таблицы
16)

19. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...