Лекция 5 (1)

1. Лекция 5

2.

Распределения
дискретных случайных
величин.

3.

Дискретная случайная величина принимает
конечное или счётное множество значений.
Пусть Х – дискретная случайная величина,
принимающая значения x1 x2 … xn … с
вероятностями р1, р2, …., рn,…, Р(xi) = pi, . Если
по оси абсцисс отложить x1, x2, …, xn …, а по оси
ординат – соответствующие вероятности pi и
соединить соседние точки отрезками, то
получим
многоугольник
распределения
дискретной случайной величины (рис.1),
который является графическим изображением
ряда распределения дискретной случайной
величины. Например, если Х – число выпадений
«решки» при двух подбрасываниях монеты, то
ряду распределения, изображенному на рис.2
будет
соответствовать
многоугольник
распределения, изображенный на рис.3.

4.

P
хi
0
1
2
pi
0.25
0.5
0.25
Рис.2
x
x1
xn
Рис.1
½
¼
0
1
Рис.3
2

5.

Рассмотрим, что представляет собой функция
распределения дискретной случайной величины
Х.
Если х х1 , то F(x) = P(X x) = 0, так как
событие : X x – невозможное.
Если х1 х х2, то событие
: X x
наступит тогда и только тогда, когда наступит
событие : X = x1 , поэтому F(x) = P(X x) =
=Р X = x1 = р1.
Если х2 х х3 , то событие : X x равно
сумме событий
: X = x1 и : X = x2 .
Поэтому, F(x) = P(X x) = Р X = x1 +
+Р X = x2 = р1 + р2. Аналогично,
если хi х хi+1, то F(x) = р1 +р2+…+рi.

6.

Таким образом, функция распределения
дискретной случайной величины имеет вид:
0 , x x1
p , x x x
2
1 1
p1 p 2 , x 2 x x3
F(x) ..................................
n
pi , x n 1 x x n
i 1
1, x x
n
Очевидно, что функция распределения
дискретной случайной величины постоянна на
промежутках (- , х1 , (х1, х2 , …, (хi, хi+1 , …

7.

В т.ч. x1, x2, …, xn …, функция распределения
имеет скачки равные вероятности того, что
случайная величина примет соответствующее
значение. График функции распределения будет
иметь вид схематично изображенный на рис.4.
График функции распределения, соответствующий
ряду распределения числа выпадений «решки»
изображен на рис.5.
1
p
1
i
i
р1
0
х1
х2
Рис.4
х3 …… хn
0
1
Рис.5
2
х

8.

Основные дискретные
распределения
случайных величин.

9.

Все дискретные распределения задаются
формулами,
по
которым
вычисляются
вероятности при различных значениях m
случайной величины Х.
При этом следует обратить внимание, что для
различных законов распределения m принимает
определенные стартовые и финишные значения
Равномерное распределение
Определение 1. Случайная величина Х,
принимающая значения 1, 2, …, n имеет
равномерное распределение, если
Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1,…,n.
Очевидно, что
n
P 1
m 1
m

10.

Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим задачу: в урне 10 шаров из них 6 черных, 4 белых.
Наудачу извлекли 5 шаров, найти вероятность что среди них 3
белых шара:
Р=
Обобщим задачу
Определение 2. В урне имеется N шаров, из них M шаров белого
цвета. На удачу извлекается n шаров. Найти вероятность того,
что среди извлечённых будет m белых шаров.
Не трудно видеть, что
P
m n m
.
C C
M
C
N M
n
N
Случайная величина Х, принимающая целочисленные значения,
имеет гипергеометрическое распределение,
m n m
если
m = 0, 1, …, min(n,M).
Можно показать, что
C M C N M
P(Х m) Pm
n
CN
min( n , m )
P 1
m 1
m

11.

Геометрическое распределение
Определение 3. Случайная величина X имеет
геометрическое распределение, если
P(Х = m) = Pm= qm-1p, m = 1,…, где q = 1-p,
p (0, 1). Геометрическое распределение имеет
случайная величина X, равная числу испытаний по
схеме Бернулли до первого наступления успеха с
вероятностью успеха в единичном испытании р.
Покажем, что Σpi = 1.
q
m 1
m 1
p р q
m 1
m 1
p
p
1
1 q p

12.

Распределение Пуассона
Определение 4. Случайная величина Х имеет
распределение Пуассона с параметром ,
если
m e
, m = 0, 1, …
P(Х m) P
m
m!
Покажем, что Σpm = 1.
m e
m 0
m 0
m!
Pm
m
m 0
m!
e
e e 1

13.

Биномиальное распределение
Определение 5. Случайная величина X имеет
биномиальное распределение, если
P(X m) Pn(m) C p q
m
n
m
n m,
m = 0, 1,…, n, где n – число испытаний по схеме
Бернулли, m – число успехов, р – вероятность
успеха в единичном исходе, q = 1-p.
Распределение Бернулли
Определение 6. Случайная величина Х имеет
распределение Бернулли, если
P(Х = m) = Pm = pmqn-m, m = 0, 1, …, n.

14.

При больших n становится проблематичным
вычисление по формуле Бернулли. Поэтому в ряде
случаев удается заменить формулу Бернулли
подходящей
приближенной
асимптотической
формулой. Так если n – велико, а р мало, то
.
m np
(np)
e
m
m n m
Cn p q
m!

15.

Теорема Пуассона. Если n , а p 0, так что
m
e .
np , то
m m n m
lim Cn p q
n
m!
Доказательство. Обозначим np = n, по условию
теоремы lim n , p n , тогда
n
m
n
m
C p q
n m
n
n n
n!
1 1
m!(n m)! n
n
n
m
n
m
n
n(n 1 )...(n m 1 ) n n
1 1
m!
n
n
n
m
n
m
n
m
m
m
1 2 m 1 n n .
1 1 ... 1
1 1
m! n n
n
n
n
m
n
n

16.

При n , λnm λm 1 1 1 2 ... 1 m 1 1,
n
1
n
m
n
n
n
n
1, 1 е .
n
n
Отсюда получаем утверждение теоремы.
m
e
Рn(m)
при n .
m!
Формула Пуассона хорошо приближает формулу
Бернулли, если npq 9. Если же произведение npq
велико, то для вычисления Рn(m) используют
локальную теорему Муавра-Лапласа.

17.

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Пусть
p (0;1) постоянна, величина x m m np
npq
равномерно ограничена, т.е. с, |xm|<с. Тогда
m
n
m n m
C p q
e
xm2
2
( 1 (n;m)) ,
2 npq
где (n;m) – бесконечно малая величина, причем
с
.
(n;m)
n

18.

Из условий теоремы следует, что
m
n
m
C p q
где
n m
1
(xm ) ,
2 npq
npq
(xm )
e
xm2
2
e
xm2
2
2
,
xm
m np .
npq
Для
вычисления
Рn(m)
по
формуле
приведенной выше, используют таблицы функции
x2
e 2
(x m )
.
2

19.

Пример 1. В магазин одежды один за другим входят 3
посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того,
что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3.
Составить ряд числа посетителей совершивших покупку.
Решение
xi
0
1
2
3
рi
0,343
0,441
0,189
0,027
Пример 2. Решить задачу в предположении, что
обслуживание прекращается как только будет совершена 1
покупка, или никто не купит (сколько будет произведено
обслуживаний).
Пример 3. Вероятность поломки компьютера 0,01.
Построить ряд распределения числа вышедших из строя
компьютеров, если их общее число равно 25.
xi
0
1
2
3
4
5
6
рi (Пуассон)
0,778
0,196
0,024
0,002
0,000
0,000
0,000
рi (Бернулли)
0,779
0,195
0,022
0,001
0,000
0,000
0,000