Лекция 3

1. Лекция 3

2. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиоматика Колмогорова.

3.

Классическое определение вероятности является весьма
ограниченным. Ограниченность проявляется хотя бы в том,
что события рассматриваются равновозможные, дискретные,
число которых конечно. Рассмотрим, например, стрельбу по
мишени. Если нас интересует только сам факт попадания по
мишени, то элементарными исходами служат ω1=1 и ω2 = 0.
Если нас интересует попадание в различные области мишени,
то элементарными событиями могут быть ω10 = 10, ω9 = 9,…
ω0 = 0. В обоих случаях вероятности элементарных событий
не одинаковы. Если нас интересует в какую конкретно точку
мишени попал стрелок, то произвольный элементарный исход
ω = {X, Y} – представляет координаты точки попадания, а
множество элементарных событий – это множество точек
плоскости. Число точек плоскости не конечно и даже
несчетно. Поэтому, нужно так определить вероятность,
чтобы оно было одинаково пригодным для объектов
различной природы.

4.

При классическом определении вероятности в качестве
события рассматривалось любое подмножество конечного
множества элементарных событий и вероятность события
определялась как сумма вероятностей входящих в него
элементарных событий. Если же непрерывно, то имеет место
континуум элементарных исходов. Поэтому попытка считать
событием любое подмножество непрерывного множества
сопряжена с большими трудностями.
В общем случае приходится иметь дело не со всеми
подмножествами , а лишь с определенным классом, замкнутым
относительно операций объединения и пересечения.
Определение 1. Класс подмножеств , замкнутый
относительно операций объединения, дополнения и пересечения,
а также, содержащий множества , , называется полем
событий. Будем обозначать поле буквой S.
Минимальное поле состоит из полного и пустого множества
S0 = { , }.
Другим примером поля событий служит класс из четырех
событий S1 = { , , А, A }. Доказать самостоятельно.

5.

Определение 2. Вероятностью называется числовая
функция, определенная на поле событий S и
обладающая следующими свойствами:
Аксиома 1. Для любого события А S, Р(А) 0;
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна
единице, P(Ω)=1;
Аксиома
3.
Вероятность
объединения
двух
несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий, т.е. если А S, B S, А∩B = , то
P(А B) = P(А+B) = P(А) +P(B).
Аксиома 3*. Если Аi S, Аi ∩ Аj = , i ≠ j , то

6.

Определение 3. Набор объектов {Ω,S,P} называется
вероятностным пространством, где Ω - множество всех
элементарных событий, S - поле, P – вероятность,
определенная на поле S.
В лекции 2 формула условной вероятности (4) была
выведена на основе классического определения вероятности,
для общего случая эта формула является определением
условной вероятности.
Определение 4. Условная вероятность наступления
события А при условии В определяется как
P(A/B) = Р(А В)/Р(В) = Р(АВ)/Р(В).
Определение 5. Событие А не зависит от события В,
если Р(А/В) = Р(А).

7.

Теорема 1. Независимость событий взаимна, т.е. если
событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А.
Доказательство. Событие А не зависит от В, т.е. Р(А/В)
= Р(А). Тогда Р(В/А) = Р(В А)/Р(А) = Р(А В)/Р(А) =
= P(A/B)Р(В) /Р(А) = Р(А)Р(В) /Р(А) = Р(В).
Из определения 4 вытекают формулы умножения
вероятностей для зависимых и независимых событий.
Следствие 1. Вероятность совместного появления
нескольких событий равна произведению вероятности
одного из них на условные вероятности всех остальных,
причем вероятность каждого последующего события
вычисляется в предположении, что все предыдущие события
уже появились:
P(A1A2…An) = P(A1)PA1(A2)PA1A2(A3)…PA1A2…An-1(An).

8.

Определение 6. События A1, A2, …, An независимы в
совокупности, если независимы любые два из них и
независимы любое из этих событий и любые комбинации
(произведения) остальных событий.
Следствие 2. Вероятность совместного появления
нескольких событий, независимых в совокупности, равна
произведению вероятностей этих событий:
P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An).
Доказательство.
P(A1A2…An)=P(A1·A2…An)=P(A1)∙P(A2…An)=…=P(A1)∙
P(A2·A3…An) = P(A1)∙P(A2)∙ … ∙P(An).
Определение 7. Событие А1,А2,…,Аn образуют полную
группу событий, если они попарно несовместны (Аi∩Аj = Ø,
для любого i ≠ j) и в совокупности образуют Ω, т.е.

9.

Теорема 2. Если события Аi, A2,… Аn образуют полную группу
событий, Р(Аi) 0 (так как не будет определено P(B/Ai)), то
вероятность некоторого события B S определяется, как сумма
произведений безусловных вероятностей наступления события Аi
на условные вероятности наступления события B, т.е.
n
P(B) P(Ai )P(B/Ai )
(3.1)
i 1
Доказательство. Так как события Аi попарно несовместны, то
их пересечение с событием B также попарно несовместны, т.е.
B∩Аi и B∩Аj – несовместны при i j. Используя свойство
дистрибутивности (( Аi) В = (Аi В)), событие B можно
представить – В = (Аi В)
Воспользуемся аксиомой сложения 3 и формулой умножения
вероятностей, получим
n
n
n
n
P(B) P( (Ai B)) P(B Ai ) P(BAi ) P(Ai )P(B/Ai )
i 1
i 1
i 1
i 1
Формула (3.1) называется формула полной вероятности.

10.

Из формулы полной вероятности легко получить формулу
Байеса при дополнительном предположении, что P(B)>0:
P(Ak )P(B/Ak )
P(Ak )P(B/Ak )
P(Ak /B) n
P(B)
P(Ai )P(B/Ai )
где k = 1, 2, …, n.
i 1
Доказательство:
Р(АkВ)=Р(Аk/B)P(B), P(BАk)=P(B/Аk)P(Аk)
P(Аk/B) = P(Аk ∩ B)/P(B)=
n
P(Ak )P(B/A k )
P(A )P(B/A )
i 1
i
P(Ak )P(B/A k )
P(B)
i
Вероятности событий P(Аi ), i =1, 2, …, n называются
априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до
выполнения опыта, а условные вероятности этих событий P(Аk/B),
называются апостериорными вероятностями, т.е. уточненными в
результате опыта, исходом которого послужило появление события В.

11.

Вероятности событий P(Аi ), i =1, 2, …, n называются
априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до
выполнения опыта, а условные вероятности этих событий
P(Аk/B), называются апостериорными вероятностями, т.е.
уточненными в результате опыта, исходом которого
послужило появление события В.
Пример
В торговую фирму поступили сотовые телефоны последних
моделей от трех производителей Alcatel, Siemens, Motorola в
соотношении 1:4:5. Практика показала, что телефоны,
поступившие от 1-го, 2-го, 3-го производителя, не потребуют
ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%,
88% и 92% случаев.
Найти вероятность того, что поступивший в продажу
телефон не потребует ремонта в течение гарантийного срока,
от какого производителя вероятнее всего поступил телефон.