Элементы теории вероятностей

1. Элементы теории вероятностей

Ахмеджанова Т.Д.

2. Понятие о случайном испытании

Опыт, эксперимент, наблюдение
явления называется испытанием.
Результат, исход испытания
называется событием.

3. Совместные события

Два события называются совместными,
если появление одного из них не
исключает появление другого в одном и
том же испытании.
Пример 1. Испытание:
однократное бросание
игральной кости. Событие
А - появление четырех
очков. Событие В появление четного числа
очков. События А и В совместные.

4. несовместные события

Два события называются несовместными,
если появление одного из них исключает
появление другого в одном и том же
испытании.
Несовместность более чем двух событий
означает их попарную несовместность.
Пример 2. Испытание: однократный
выстрел из винтовки. Событие А попадание в мишень, событие В непопадание. Эти события несовместны.

5. противоположные события

Два события А и В называются
противоположными, если в данном
испытании они несовместны, и одно
из них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию
А, обозначают через Ā.
Пример 3. Испытание: однократное
бросание монеты. Событие А выпадение герба, событие Ā выпадение цифры. Эти события
противоположны, т.к. исходами
бросания могут быть лишь они, и
появление одного из них исключает
появление другого.

6. Достоверные и невозможные события

Событие называется достоверным, если в
данном испытании оно является
единственно возможным его исходом, и
невозможным, если в данном испытании
оно заведомо не может произойти.
Пример 4. Достоверное событие:
произвольное трехзначное число не
больше 1000. Невозможное событие:
трехзначное число, составленное из
цифр 1, 2, 3 и кратное 5.

7. Случайные события

Событие А называется
случайным, если оно
объективно может наступить
или не наступить в данном
испытании.
Пример 5. Событие А:
родившийся ребенок мальчик.
Это событие может
произойти, а может и не
произойти.

8. полная группа событий.

Определение. Говорят, что
совокупность событий образует полную
группу событий для данного испытания,
если его результатом обязательно
становится хотя бы одно из них.
Пример. Совокупность событий А1, А2 и т.д.,
А6 – выпадений соответствующего числа
очков на игральной кости при однократном
испытании, - полная группа событий.

9.

Рассмотрим полную группу попарно
несовместных событий U1,U2,U3,..,Un,
связанную с некоторым испытанием.
Предположим, что в этом испытании
осуществление каждого из событий
Ui (i = 1, 2, 3,..., n) равновозможно,
т.е. условия испытания не создают
преимущества в появлении какоголибо события перед другими
возможными.

10. элементарные события

События U1, U 2,…, Un, образующие
полную группу попарно
несовместимых и равновозможных
событий, называются
элементарными событиями.

11.

Событие А называется
благоприятствующим событию В,
если наступление события А влечет
за собой наступление события В.

12. Классическое определение вероятности

Вероятностью Р (А) события А
называется отношение числа m
элементарных событий,
благоприятствующих событию А, к
числу n всех элементарных событий,
т.е.
m
Р( A)
n

13. Задача

В классе 30 учеников. Из них 12
мальчиков. К доске вызваны двое
учеников. Какова вероятность, что это
мальчики? девочки? Мальчик и девочка?
Решение.
2
2
P( A) C12
/ C30
22 / 145

14. Из данного определения вероятности вытекают следующие свойства:

1.Вероятность достоверного
события равна единице.
2. Вероятность невозможного
события равна нулю.
3. Вероятность случайного события
есть положительное число,
заключенное между нулем и
единицей.

15. 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Достоверному событию должны
благоприятствовать все n
элементарных событий, т.е. m = n ,
следовательно,
P(A) = 1.

16. 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Невозможному событию не может
благоприятствовать ни одно из
элементарных событий, т.е. m = 0,
откуда:
m 0
P( A) 0
n n

17. Вероятность случайного события - положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Вероятность случайного события положительное число, заключенное между
нулем и единицей.
Cлучайному событию благоприятствует
лишь часть из общего числа
элементарных событий. В этом случае
m
0 m n и, значит, 0 1 .
n
Следовательно, 0< P(A) <1.

18.

Вероятность любого события
удовлетворяет двойному неравенству:
0 Р( A) 1
Пример 15. Брошена игральная кость.
Найти вероятность того, что выпадет
нечетное число очков.
Число элементарных событий здесь 6.
Число благоприятствующих элементарных
событий 3:
3
1
Р ( A)
6
2

19. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности не
является пригодным для изучения произвольных
случайных событий. Так, оно неприемлемо, если
результаты испытания не равновозможны.
К примеру, вероятности таких событий, как
попадание в цель при выстреле; выход из строя
интегральной схемы в течение одного часа работы;
выявление при контроле за день ровно m дефектных
изделий, не могут быть найдены по формуле
классической вероятности. В таких случаях
используется так называемое статистическое
определение вероятности.
Пусть произведено n испытаний, при этом
некоторое событие А наступило m раз.

20. Относительная частота.

Определение. Число m
называется абсолютной частотой
(или просто частотой) события А,
а отношение
m
P * ( A)
n
называется относительной
частотой события А.

21. Пример 16.

В ящике имеется 100 яиц, из них
5 некачественных.
Здесь m = 5 - абсолютная частота
некачественных яиц,
а Р*(А)= 5 : 100 = 0.05 - относительная.

22.

Результаты многочисленных опытов и
наблюдений помогают заключить: при
проведении серий из n испытаний, когда
число n сравнительно мало, относительная
частота Р*(А) принимает значения ,
которые могут довольно сильно отличаться
друг от друга. Но с увеличением n - числа
испытаний в сериях - относительная
m
частота
P * ( A)
n
приближается к некоторому числу Р (А),
стабилизируясь возле него и принимая все
более устойчивые значения.

23. статистическое определение вероятности

Вероятностью события А в данном
испытании называется число Р (А),
около которого группируются
значения относительной частоты при
больших n.
Таким образом, относительная частота
события приближенно совпадает с его
вероятностью,
если число испытаний достаточно
велико.

24. Пример 17.

Как установить число рыб в озере?
Пусть в озере x рыб. Забросим сеть и, допустим,
находим в ней n рыб. Пометив каждую, выпускаем их
обратно. Через некоторое время при тех же условиях
повторяем опыт. Предположим, что в сети мы нашли
m рыб, среди которых k меченых. Пусть событие А “пойманная рыба мечена”. Тогда относительная
k
частота
P * { A}
m
Но если в озере x рыб, и мы в него выпустили n
меченых, то согласно формуле классической
вероятности
n
P ( A)
Так как
P *{A} P( A),
x
то
x
mn
k

25. Свойства вероятности

Теорема сложения вероятностей
несовместных событий

26. Определение.

Суммой событий А и В называется
событие С = А+ В, состоящее в
наступлении по крайней мере одного из
событий А или В.
Аналогично, суммой конечного числа
событий А1, А2, ... Аk называется событие
А = А1+А2+...+Аk, состоящее в
наступлении хотя бы одного из событий
Ai (i=1,2,...,k).

27. Пример 18.

Событие А - “попадание в мишень
первым выстрелом”, событие В “попадание в мишень вторым
выстрелом”. В чем состоит событие
С = А + В?
Событие С - “попадание в мишень хотя
бы одним выстрелом”.

28. Определение.

Произведением событий А и В называется
событие С = АВ, состоящее в том, что в
результате испытания произошло и
событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного
числа событий А1, А2,...,Аk называется
событие А = А1А2... Аk , состоящее в том,
что в результате испытания произошли
все указанные события.

29. Пример 19.

А - “родившийся ребенок девочка”, В - “родившийся ребенок
голубоглазый”, С – “родившийся
ребенок - голубоглазая девочка”.
Событие С происходит только при
одновременном исполнении
событий А и В, поэтому С = А В.
Из определения непосредственно
следует, что АВ = ВА.

30. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

P( A B) P( A) P( B)

31. Пример 20.

В лотерее выпущено 10 000 билетов и
установлено: 10 выигрышей по 200 р., 100 - по 100
р., 500 - по 25 р.,1000 - по 5 р. Куплен один билет.
Какова вероятность того, что он выиграет не
меньше 25 р.?
Обозначим события: А - “выигрыш не менее 25 р.”,
В - “выигрыш равен 25 р.”, С - “выигрыш равен 100
р.”, D - “выигрыш равен 200 р.”. A = B + C + D, где
события В, С, D попарно несовместны, поэтому
P( A) P( B) P(C) P( D)
P(B)= 0.05; P(C) = 0.01;P(D) = 0.001; P(A) = 0.05
+ 0.01 + 0.001 = 0.061.

32. Следствие.

Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице:
Р (А)+Р(A)=1.

33. Теорема умножения вероятностей

34. Определение.

Два события А и В называются
независимыми, если вероятность
появления каждого из них не
зависит от того, появилось другое
событие или нет. В противном
случае события А и В называют
зависимыми

35. Определение.

Пусть А и В - зависимые события.
Условной вероятностью Р (В A)
cобытия В называется вероятность
события В, найденная в
предположении, что событие А уже
наступило.
Заметим, что если события А и В
независимы, то Р (В А) = Р (В).

36. Теорема 1.

Вероятность произведения двух
зависимых событий А и В равна
произведению вероятности одного
из них на условную вероятность
другого, найденную в
предположении, что первое
событие уже наступило:
Р (АВ)=Р(А)Р(В А).

37. Пример 21.

Из колоды в 36 карт наудачу одну
за другой вынимают две карты.
Найти вероятность того, что вынуты
два валета.

38. Теорема 2.

Вероятность произведения двух
независимых событий А и В равна
произведению вероятностей этих
событий:
Р (АВ)=Р(А)Р(В).

39. Пример 22.

Доказать, что при бросании кости
события А - “выпало четное число
очков” и В - “число выпавших очков
делится на 3” являются
независимыми.

40. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных
событий А и В равна сумме
вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
Р (А+В) = Р (А)+Р (В) - Р (АВ).

41. Пример 23.

Два стрелка одновременно и
независимо друг от друга стреляют
по одной мишени. Какова
вероятность того, что мишень будет
поражена, если вероятность
попадания одного стрелка 0.9, а
второго - 0.8?

42. Решение

Р( А) 0,9 0,8 0,9 0,8 0,98

43. Ошибка Д’Аламбера

Бросают две симметричных монеты.
Какова вероятность того, что обе
упадут «гербом кверху» - ГГ?
Решение. Событие А1 – 1 монета упала
«гербом кверху», А2 – 2 монета.
1
P( A1 ) ;
2
1
P( A2 ) ;
2
1
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) .
4
Д’Аламбер полагал, что события ГГ, ГР, РР
равновозможны, поэтому их вероятности
равны, т.е. 1/3.