Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей

1. Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность и теорема
умножения – примеры – независимые события – формула полной вероятности – формула Байеса }

2.

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории
вероятностей. М., ГНТИ, 1936.
Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987)
Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного
эксперимента. Набор подмножеств Ω будет называться событиями.
Задается вероятность - как функция, определенная только на множестве
событий.
Событиями будем называть не любые подмножества Ω, а лишь
подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ .
Множество Ψ подмножеств Ω должно быть замкнуто относительно
операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение,
дополнение событий (элементов Ψ ) снова давало событие (элемент Ψ ).

3.

Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω, называется
σ - алгеброй событий, если выполнены следующие условия :
Аксиома 1
Ω Ψ (σ -алгебра событий содержит достоверное событие)
Аксиома 2
Если A Ψ , то A Ψ (вместе с любым событием σ -алгебра содержит
противоположное событие)
Аксиома 3
Если A 1 , A 2 , A 3 , . . . Ψ , то
A
i 1
i
Ψ (вместе с любым конечным или
счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение)

4.

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ
относительно других операций над событиями.
Свойство 1
Ω Ψ (σ -алгебра событий содержит невозможное событие)
Доказательство
A1: Ψ
Ω \Ω
Ω Ψ
в силу A2
Свойство 2
При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно (A4)
A
i 1
i
Ψ
(вместе с любым конечным или счетным набором
событий σ -алгебра содержит их пересечение).
Свойство 3
Если А, В Ψ , то А\ В Ψ

5.

@
Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - пространство элементарных исходов
(например, число выпавших очков при бросании игрального кубика) .
Доказать, что следующие наборы подмножеств Ω являются
σ -алгебрами :
Ψ
{ Ω , } { { 1 , 2 ,3 ,4 , 5 ,6 } , }
Ψ
{ Ω , , { 1 } , { 1 } } { { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , , { 1 } , { 2 ,3 , 4 , 5 , 6 } }
Ψ
{ Ω , A , A } { { 1 , 2 ,3 ,4 , 5 ,6 } , , A , A }

6.

Пусть Ω - пространство элементарных исходов и Ψ - σ -алгебра его
подмножеств (событий).
Вероятностью P или вероятностной мерой μ на (Ω, Ψ) , называется
функция P : Ψ → R, удовлетворяющая аксиомам:
Аксиома 1
Для любого события А Ψ его вероятностная мера неотрицательна:
P(А) ≥ 0
Аксиома 2 (аксиома сложения вероятностей)
Для любого счетного набора попарно
n
n
непересекающихся событий А1, А2… Ψ
P Ai P ( Ai )
вероятностная мера их объединения равна
i 1 i 1
сумме их мер:
Аксиома 3
Вероятностная мера μ: Ψ → R называется нормированной, если μ(Ω) = 1.
Вероятность достоверного события P(Ω) = 1 .

7.

Тройка (Ω, Ψ,Р) , в которой Ω - пространство элементарных исходов,
Ψ - σ -алгебра его подмножеств и P - вероятностная мера на Ψ ,
называется вероятностным пространством .
Свойства и основные соотношения для вероятности:
Вероятность невозможного события равна нулю: P ( ) 0
Доказательство
Ω
Ω
Ω
P ( Ω ) P ( Ω ) P ( )
P ( ) 0
по аксиоме 2 второй группы
используя аксиому 3 второй группы
c

8.

Вероятность противоположного случайного события определяется как :
P ( A ) 1 P ( A )
Доказательство
A A
Ω
по аксиомам 2,3 второй группы
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) 1
P( A ) 1 P( A )
c
Вероятность всякого события заключена между нулем и единицей
0 P ( A ) 1
Доказательство
По аксиоме 1 второй группы P ( A ) 0
P( A ) 0
P( A ) 0
P( A ) 1 P( A )
1 P( A ) 1 P ( A ) 1
0 P ( A ) 1
c

9.

Если событие A влечет за собой событие B (А В) , то : P ( A ) P ( B )
А В - на языке теории множеств это означает, что любой элементарный
исход, входящий в А , является частью множества В .
Доказательство
A
B A ( B \ A )
B
так как A ( B \ A ) то по аксиоме 2 второй группы
P ( B ) P ( A ) P ( B \ A )
P ( A ) P ( B )
c

10.

События A и B равносильны (A B ) , если А влечет за собой B и
наоборот: A B | B A
Доказательство
A B
P ( A ) P ( B )
A B
P ( A ) P ( B )
B A
P ( B ) P ( A )
A B
c

11.

@
Из колоды (52 карты) вынули 10 карт. Найти вероятность того,
что выбран хотя бы один туз.
Решение
Событие A : тузов в выборке нет
P(A)
m
n
Событие B : есть хотя бы один туз B A
10 карт можно выбрать n C 5 2
10
числом способов.
Число выборок без тузов: m C 48 .
10
C 4810
P ( A ) 10
C 52
P(A)
48 ! 42 !
42 41 40 39
0 . 4 13
38 ! 52 !
49 50 51 52
P ( B ) P ( A ) 1 P ( A ) 1 0 .4 13 0 .5 8 7

12.

Вероятность суммы событий A и B , находится по формуле:
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB )
Доказательство
A B
A B
A B A ( B \ AB )
P ( A B ) P ( A ) P ( B \ AB )
A
A
AB
B
+ B
A B
B ( B \ AB ) AB
AB
P ( B ) P ( B \ AB ) P ( AB )
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB )
c

13.

Вероятность суммы событий A1 , A2 , …., An , находится по формуле:
P ( A1 A2 .... An )
P( A
i j m
i
n
P(A )
i 1
i
P( A
i j
i
Aj )
Aj Am ) ... ( 1 ) n 1 P ( Ai .... An )

14.

Условной вероятностью события А, при условии, что произошло
событие В , называется число
P(A B)
P(A B)
P(B)
P ( B ) 0
Теорема умножения
P ( A ∩B ) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B |A) , если соответствующие условные
вероятности определены (то есть если P(В) > 0 , P(A) > 0 ).
P (A1 ∩ A2 ∩…∩ An ) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 ∩A2)… P(An|A1 ∩…∩An-1 ) если
соответствующие условные вероятности определены.
События A и B называются независимыми, если P (A ∩B) = P(A) P(B) .

15.

@
Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех
очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное
число очков?
Решение
Пространство элементарных исходов : “выпало более трех очков”
B = { 4, 5, 6 }
Событие : “выпало четное число очков” A |B = { 4, 6 }
P(A B)
P(A B)
A B
B
2
3
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A |B = { 4, 6 }
P(A B)
1 / 3
2
P(B)
1 / 2
3
B = { 4, 5, 6 }

16.

События A и B называются независимыми, если P (A ∩ B) = P(A) P(B) .
Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только
если P(A) = 0 или P(B) = 0 .
Если P (B) > 0 , то события А и В независимы P (А |В) = Р (А) .
Если P (А) > 0 , то события А и В независимы P (В |А) = Р (В) .
Если события А и В независимы, то независимы события: : A B , A B , A B
События A1,A2, …, An называются независимыми в совокупности, если для
любого набора 1 ≤ i1 ,i2…ik ≤ n
P ( A i1 . . . A ik ) P ( A i1 ) P ( A i k )
Если события А1, А2 … Аn независимы в совокупности, то они попарно
независимы, то есть любые два события Аi , Аj независимы..
Обратное неверно.

17.

Полной группой событий или разбиением пространства Ω называют
набор попарно несовместных событий Н1, Н2 …, таких, что P ( Hi ) > 0 для
всех i и
n
H
i 1
i
Ω .
События Н1, Н2 …, образующие полную группу событий, часто называют
гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события
А могут быть сравнительно просто вычислены P ( А | Нi ) (вероятность
событию А произойти при выполнении «гипотезы» Нi ) и собственно P ( Нi )
(вероятность выполнения «гипотезы» Нi ).
Hi H
j
, i j

18.

Пусть Н1, Н2 , … - полная группа событий. Тогда вероятность любого
события A может быть вычислена по формуле:
P( A)
n
P( H
i 1
Доказательство
По условию: H i H
j
, i j
Тогда
i
P( A)
) P ( A Hi )
A AH 1 AH 2 AH 3 ....
По аксиоме сложения : P ( A ) P ( AH 1 AH 2 .... AH n )
По теореме умножения: P ( A H
i
n
P ( AH
i 1
i
)
) P ( Hi )P ( A Hi )
n
P( H
i 1
i
) P ( A Hi )
c

19.

@
Имеется три партии деталей. Процент годных составляет соответственно 89 %, 92% и
97% . Общее количество деталей в партиях относится как 1:2:3. Определить вероятность
случайного выбора непригодной детали из всех трех партий .
Решение
H1, H2, H3 - события, заключающиеся в том, что деталь относится к первой,
второй или третьей партии.
H1 + H2 + H3 = Ω
P (H1 ) + P (H2 ) + P (H3 ) = P(Ω) = 1
Общее количество деталей в партиях относится как 1:2:3 .
Следовательно: P ( H ) 1
1
6
P ( H2 )
Условные вероятности: P ( A H 1 ) 0.11
1
3
1
2
P ( H3 )
P ( A H 2 ) 0.08
P ( A H 3 ) 0.03
P ( A ) P ( H1) P ( A H1) P ( H 2 ) P ( A H 2 ) P ( H 3 ) P ( A H 3 )
P( A)
1
1
1
0 . 11 0 . 08
0 . 03 0 . 06
6
3
2

20.

@
В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар
(событие A). Найти вероятность того, что этот шар белый. Все предположения о
первоначальном составе шаров в урне равновозможные.
Решение
Выдвигаем гипотезы H1, H2, .... Hn+1 . H1 – ”нет белых шаров”, H2 – ”один белый шар”,
H3 – ”два белых шара”, ....... , Hn+1 – ” в урне n белых шаров”.
Вероятности гипотез: P(H1) = P(H2) = ..... = P(Hn+1) = 1/(n+1).
Опущен белый шар !
Условные вероятности: P ( A H1 ) 1
n 1
P ( A ) P ( Hi ) P ( A H i )
i 1
n 1
,
P ( A H2 )
2
n 1
, .... , P ( A Hn )
n
n 1
, P ( A Hn 1 )
********************************* Сумма арифметической прогрессии
1 1
2
n
n 1
1 ( n 1 )( n 2 ) n 2
...
n 1 n 1 n 1
n 1 n 1
2( n 1 )
n 1 2 ( n 1 )
n 1
n 1

21.

Важное значение в теории вероятностей имеет формула Байеса.
Формула Байеса P ( H A )
k
P ( Hk ) P ( A Hk )
n
P ( A H
i 1
i
) P ( Hi )
На основании коммутативности операции пересечения множеств
A H H A можно записать: P ( A H ) P ( H A ) или
P ( A)P ( H A) P ( H )P ( A H )
Это соотношение справедливо, если H есть также некоторое событие
Hk из полной группы событий H1 , H2 , … .
P ( Hk A )
P ( Hk ) P ( A Hk )
P( A)
c

22.

@
Два стрелка выстрелили по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым
стрелком – 1.0 , вторым – 0.004. После выстрела в мишени обнаружена пробоина. Какова
вероятность, что мишень поражена первым стрелком (вторым стрелком) ?
Решение
A – событие “поражение мишени”.
H1 - выбор первого стрелка P ( H 1 ) 0.5
H2 - выбор второго стрелка P ( H 2 ) 0.5
Условные вероятности:
P ( H1 A )
P ( A H1) 1
0.5 1.0
1
0,996016
0.5 1.0 0.5 0.004
1.004
P ( A H 2 ) 0.004
P ( H 2 A ) 0,003984
Апостериорная вероятность - a’posteriori - «после опыта»