Основные теоремы и формулы теории вероятности

1.

2. Основные вопросы:

• Формула умножения теории
вероятности. Формула сложения
теории вероятности.
• Формула полной вероятности.
• Повторение испытаний. Формула
Бернулли.

3. Теорема 1 сложения вероятностей

Если случайные события А и В являются
несовместными событиями с известными
вероятностями, то справедлива следующая теорема.
Вероятность суммы двух
несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий.
P( A B) P( A) P( B)

4.

• Следствие 1: Если события A1 , A2 ,..., An
образуют полную группу несовместных
событий, то сумма их вероятностей
равна единице.
n
P( A ) 1
i 1
i
• Следствие 2: Сумма вероятностей
противоположных событий равна
единице.
P( A) P( A ) 1

5.

6.

7.

Теорема 2 сложения
вероятностей
Вероятность появления хотя бы
одного из двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их
совместного появления.
P( A B) P( A) P( B) P( AB)

8.

9.

Определение. Событие А называется
независимым от события В, если
вероятность события А не зависит от
того, произошло событие В или нет.
Определение. Событие А называется
зависимым от события В, если
вероятность события А меняется в
зависимости от того, произошло
событие В или нет.

10. Теорема произведения

• Вероятность произведения двух
независимых событий равна
произведению вероятностей
событий
P( AB) P( A) P( B)

11.

12. Условная вероятность

PA ( B) P( B / A) P( AB) / P( A)
Пример. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё дважды вынимают по
одному шару, не возвращая их обратно.
A – первый шар оказался чёрным
B – второй шар оказался белым
Тогда pA(B) – вероятность появления вторым белого шара, если первый
вытащенный шар – чёрный.

13.

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятность совместного появления двух зависимых
событий равна произведению вероятности одного из
них на условную вероятность другого, вычисленную
в предположении, что первое событие уже
наступило.
P( AB) P( A) P(B / A) P( A) PA (B)

14. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

15.

Следствие.
В случае произведения нескольких
зависимых событий вероятность равна
произведению одного из них на условные
вероятности всех остальных при
условии, что вероятность каждого
последующего вычисляется в предположении,
что все остальные события уже
совершились.
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )...P( An / A1 A2 ... An 1 )

16. Следствие.

17.

18.

Вероятность появления хотя бы
одного события
Вероятность появления хотя бы одного из событий
А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности,
равна разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий
А1 , А2 , ... Аn
Р ( А) 1 q1 q 2 ... q n
Здесь событие А обозначает наступление хотя бы
одного из событий Ai, а qi – вероятность
противоположных событий .

19. Вероятность появления хотя бы одного события

20.

Формула полной вероятности
Пусть некоторое событие А может произойти
вместе с одним из несовместных событий
H 1 , H 2 ,..., H n , составляющих полную группу
событий. Пусть известны вероятности этих
событий P( H1 ), P( H 2 ),..., P( H n ) и условные
вероятности наступления события А при
наступлении события Hi P( A / H1 ), P( A / H 2 ),..., P( A / H n )
.

21. Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А,
которое может произойти вместе с
H 1 , H 2 ,..., H n , равна
одним из событий
сумме парных произведений
вероятностей каждого из этих событий
на соответствующие им условные
вероятности наступления события А.
n
P( A) P( H i ) P( A / H i )
i 1

22. Формула полной вероятности

23.

Формула Бернулли
Если производится некоторое количество испытаний,
в результате которых может произойти или не
произойти событие А, и вероятность появления этого
события в каждом из испытаний не зависит от
результатов остальных испытаний, то такие
испытания называются независимыми
относительно события А.

24. Формула Бернулли

25.

Формула Бернулли
Вероятность того, что в отдельном опыте
произойдет событие А, равна р. Тогда
вероятность того, что в n опытах m раз
случится событие А, дается формулой
Бернулли:
P ( n, m ) C p (1 p)
m
n
m
n m
n!
p m (1 p) n m
m! ( n m )!

26. Формула Бернулли

Частные случаи формулы
Бернулли
1. Вероятность осуществления события А в n
испытаниях ровно n раз равна:
n!
Pn n
pn q0 pn
n!0!
2. Вероятность осуществления события А в n
испытаниях нуль раз равна:
n!
0
n
n
Pn 0
p q q
n!0!

27. Частные случаи формулы Бернулли

28.

29.

Домашнее задание