Лекция 2

1. Лекция 2

2.

Если события рассматривать как подмножества множества
событий, то введенные выше отношения между событиями можно
интерпретировать как отношения между множествами:
– несовместные события – это такие события (подмножества),
которые не содержат общих элементов;
– сумме и произведению событий соответствуют объединение
и пересечение A + B = A B, A B = A B;
– противоположное событие к А это дополнение подмножества
А;
– запись А В означает, что в В содержатся все элементарные
события из А и могут содержаться элементарные события, не
входящие в А. Если A В и В А, то А = В.
À \ À
Теорема 1. Сложение вероятностей. Если два составных события А =
i1, i2… im и В = j1, j2… jк являются несовместными, то
P(A + B) = P(A B) = P(A) + P(B).
Доказательство. Так как события A и B несовместны, событие A
+ B состоит из m+k-элементов. При этом все множество
элементарных событий состоит из n элементов. Тогда по
классическому определению вероятности
P(A + B) = (m + k)/n = m/n + k/n = P(A) + P(B).

3.

Теорему 1 легко обобщить на произвольное число событий.
Теорема 2. Сложение вероятностей совместных
событий.
Если два составных события являются
совместными, то вероятность появления хотя бы одного из
двух совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B) = P(A B) = P(A) + P(B) – Р(АВ).
Доказательство. Нетрудно видеть, что А + В можно
представить в виде суммы трех несовместных событий (рис.
1):
А
АВ
Рис. 1
В

4.

А + В = А В+ A В+ АВ.
Тогда по теореме1 имеем:
Р(А+В) = Р(АВ) + Р( AВ) + Р(АВ).
(2)
Учитывая, что А = А В + АВ, Р(А) = Р(А В ) + Р(АВ),
имеем Р(А В ) = Р(А) - Р(АВ),
аналогично P( A В) = Р(В) – Р(АВ).
Подставляя полученные выражения в (2), получим
Р(А+В) = Р(А) - Р(АВ) + Р(В) – Р(АВ) + Р(АВ) =
=P(A) + P(B) – Р(АВ).
Можно доказать и по другому.
Нетрудно видеть, что событие A + B состоит из
(m+k-r)-элементов, где r – количество общих
элементов, тогда по формуле (1):
P(A + B) = (m + k - r)/n = m/n + k/n -r/n =
=P(A) + P(B) – P(AB).

5.

Событие, противоположное к событию А,
можем определить как подмножество, в
которое входят все элементарные события, не
входящие в А, т.е. А A= и А A = . Тогда
из теоремы сложения вероятностей вытекает,
что
Р( ) = Р(А) + Р(A) = 1, следовательно,
Р( A) = 1- Р(А)
(1)
Из (1) следует, что вероятность невозможного
события, являющегося противоположным к
достоверному событию ( = + ,
= ) равна 0, так как Р( ) = 1- Р( ) = 0.

6.

При определении вероятности наступления события A
предполагается выполнение определённого комплекса
условий, так как случайное событие определяли как
событие, которое при выполнении определенного
комплекса условий может как произойти, так и не
произойти. Очевидно, что при изменении комплекса
условий изменится и вероятность Р(А). Так, если к
комплексу условий при котором определяли Р(А)
добавить новое условие, состоящее в появлении события
В, то получим другое значение вероятности, которое
обозначим P(A/B) = PB(A). Вероятность P(A/B)
называется условной вероятностью наступления события
A, при условии, что произойдет событие В. Вероятность
Р(А) называется безусловной вероятностью. Говорить об
условной вероятности имеет смысл, если события А и В
совместны!

7.

Пусть A и В – подмножества элементарных
событий, состоящие из m и k элементов (рис.2).
m
r
k
n
Рис.2
Тогда,
согласно
формуле
классической
вероятности Р(А) = m/n,
Р(В) = k/n.
Очевидно, что событию А при условии, что
произойдет событие В благоприятствует r
исходов, которые есть и в А и в В, очевидно что
такими исходами могут быть только
исходы
принадлежащие А В.

8.

Тогда согласно формуле (1),
P(A/B) = r/k
(3)
Разделим числитель и знаменатель полученной
дроби на n:
P(A/B) = (r/n)/(k/n) = Р(А В)/Р(В), т.е.
P(A/B) = Р(А В)/Р(В) = Р(АВ)/Р(В)
(4)
Формула (4) называется формулой нахождения
условной вероятности наступления события А
при условии, что произойдет событие В.
Пример. Бросаем игральную кость. Пусть
событие А состоит в выпадении числа очков,
кратных 3, т.е. А= 3, 6 , а событие В – в
выпадении четного числа очков, т.е. В = 2, 4,
6 . Найти P(A/B).

9.

Решение
1. Р(A/B)=r/k= 1/3
2. P(AB)=1/6, P(B)=3/6, P(A/B)=
=1/6:3/6=1/3

10.

P(A/B) = Р(А В)/Р(В)
(4)
Определение
1.
Событие
A
называется
независимым от события B, если его условная
вероятность равна безусловной, т.е.
P(A) = PB(A) = P(A/B)
(5)
Из (4) следует
P(AB) = Р(А В) = P(A/B)P(B)
(6)
Выражение (6) называется формулой умножения
для зависимых событий.
Из (4) и (5) следует P(AB)=P(A) P(B)
(7)
Выражение(7) называется формулой умножения для
независимых событий.
События А и В из предыдущего примера независимые,
так как P(A) = P(A/B) = 1/3
Еще раз подчеркнем, что о зависимости событий имеет
смысл говорить в том случае, если они совместные,
противном случае Р(А/В) = 0

11. Статистическое определение вероятности.

12.

Существует
большой
класс
событий,
вероятности которых не могут быть вычислены с
помощью классического определения. В первую
очередь это события с неравновозможными
исходами (например, игральная кость «нечестная»,
монета сплющена и т.д., вероятность заболевания
какой-то болезнью разная для каждого человека).
В таких случаях может помочь статистическое
определение вероятности, основанное на подсчете
частоты наступления события в испытаниях.

13.

Определение 2. Статистической вероятностью
наступления события А называется относительная
частота появления этого события в
n
произведенных испытаниях, т.е.
Р (А) = W(A) = m/n,
где
Р (А) – статистическое определение
вероятности; W(A) – относительная частота; n –
количество произведенных испытаний; m – число
испытаний, в которых событие А появилось.
Заметим, что статистическая вероятность
является
опытной,
экспериментальной
характеристикой.
Причем при n → ∞,
Р (А) → P(А), так,
например, в опытах Бюффона (XVIII в.)
относительная частота появления герба при 4040
подбрасываниях
монеты, оказалось 0,5069, в
опытах Пирсона (XIX в.) при
23000
подбрасываниях – 0,5005.

14. Геометрическое определение вероятности.

15.

Еще
один
недостаток
классического
определения, ограничивающим его применение,
является то, что оно предполагает конечное
число возможных исходов. В некоторых случаях
этот недостаток можно устранить, используя
геометрическое определение вероятности. Пусть,
например, плоская фигура g составляет часть
плоской фигуры G (рис.2). На фигуру G наудачу
бросается точка. Это означает, что все точки
области G «равноправны», в отношении
попадания туда брошенной случайной точки.
Полагая, что вероятность события А – попадания
брошенной точки на g пропорциональна площади
этой фигуры Sg и не зависит ни от ее
расположения относительно области G, ни от
формы g, определим Р(А) = Sg/SG,

16.

G
g
Рис.2
где SG – площадь области G. Но т.к. области g и
G могут быть одномерными, двухмерными,
трехмерными и многомерными, то обозначив
меру области через meas, можно дать более
общее
определение
геометрической
вероятности – P = measg / measG.

17. Последовательность испытаний. Формула Бернулли.

18.

Пусть
производится
последовательность
n
независимых испытаний, в каждом из которых с с
одинаковой вероятностью р может произойти
отдельное событие А, или с вероятностью q = 1 – p – не
произойти. Такая последовательность испытаний
называется схемой Бернулли.
Поставим
перед
собой
задачу
вычислить
вероятность того, что при n испытаниях событие А
осуществится ровно k раз и, следовательно, не
осуществится n-k раз. Важно подчеркнуть, что не
требуется, чтобы событие повторилось ровно k раз в
определенной последовательности. Вероятность одного
сложного события, состоящего в том, что в n
испытаниях событие А наступит k раз и не наступит nk раз, по теореме умножения вероятностей
независимых событий равна pkqn-k. Очевидно, что таких
сложных событий может быть столько, сколько можно
составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е.

19.

Так как эти сложные события несовместны, то по
теореме сложения вероятностей несовместных
событий искомая вероятность равна сумме
вероятностей всех возможных сложных событий.
Поскольку же вероятности всех этих сложных
событий одинаковы, то искомая вероятность
(появления k раз события А в n испытаниях) равна
вероятности одного сложного события, умноженного
на их число:
Pn (k ) C p q
k
n
k
n k
n!
k n k
pq
k!(n k )!
Полученную формулу называют формулой Бернулли.