Случайные события. Вероятность. Основные теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Случайные события Вероятность Основные теоремы сложения и умножения вероятностей

2. Теория вероятностей

математическая наука, изучающая
закономерности случайных явлений

3. Классическое определение вероятности

Определение: Вероятностью события
А называется отношение числа
благоприятных этому событию случаев
к общему числу всех случаев
m
P( A)
n

4. Свойства вероятности

m n
1 - вероятность достоверного события;
n n
1.
P ( A)
2.
0
P ( A) 0
n
3.
0≤P(A)≤1
- вероятность невозможного события;
- вероятность любого события.

5. Относительная частота

Определение: Относительной частотой
называется отношение числа испытаний, в
которых событие появилось к общему числу
фактически произведенных испытаний
m
P
(
A
)
- относительная частота события А
n
или статистическая вероятность, m- число
появлений события,n – общее число
испытаний.
Отличие вероятности от относительной
частоты: вероятность вычисляют до опыта, а
относительную частоту – после опыта.

6.

Опр. Событие называется случайным
по отношению к данному испытанию
(опыту), если при осуществлении этого
испытания (опыта) оно может наступить
или не наступить.
Событие обозначается:
A, B, C ,....

7.

Определения
1. Событие , которое в результате
опыта обязательно произойдет
называется достоверным.
2. Событие, которое в результате
опыта никогда не наступит называется
невозможным.
3. Если одновременно одно
событие влечет за собой другое и
наоборот, такие события называются
равносильными.

8.

4. События называются несовместными,
если наступление одного из них исключает
наступление любого другого.
5. События называются
равновозможными, если в результате
испытания по условиям симметрии ни одно
из этих событий не является объективно
более возможным.

9.

6. События называются
единственно возможными, если появление в
результате испытания одного и только
одного из них является практически
достоверным событием.

10.

7. Несколько событий образуют
полную группу, если они являются
единственно возможными и
несовместными исходами испытания.
Это означает, что в результате
испытания обязательно должно
произойти одно и только одно из этих
событий.

11.

A B
A
B

12.

Опр. Произведением событий A и B
называется событие AB , состоящее в
одновременном появлении этих
событий.
A
B
AB

13.

• Опр. Событие А называется
противоположным событию A , если
оно считается наступившим тогда и
только тогда, когда A не наступает.

14.

А
A

15.

Опр. Разностью A B двух событий
A и B называется событие, которое
состоится, если событие A произойдет, а
событие B не произойдет.

16.

A B
A
B

17. Правило сложения вероятностей

Если события несовместны, то
вероятность их суммы равна
сумме
вероятностей этих событий:
P A B P A P B

18.

Для суммы совместных событий используется
формула:
P A B P A P B P(AB)

19.

• Опр. Условной вероятностью PB A
события A относительно события B
называется вероятность осуществления
события A при условии, что событие B
уже произошло.

20.

P AB
PB A
P B
P AB P B PB A

21.

• Опр. События называются
независимыми, если наступление одного
не меняет шансов появления другого .
Если события A и B независимы, то
P AB P A P B

22. Основные теоремы сложения и умножения

• Для совместных событий:
P( А В) P( А) P( В) P( АВ);
• Для несовместных событий:
P( А В) P( А) P( В);
• Для независимых событий:
P( AB) P( A) P( B);
• Для зависимых событий:
P AB P A PA B

23. Спасибо за внимание!