Куб, параллелепипед в егэ

1.

Куб,
параллелепипед
(по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике)

2. ВСПОМНИМ

Параллелепипед- это призма, основания которой –
параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед –это
прямой параллелепипед, в основании которого прямоугольник
1)Противоположные грани параллелепипеда параллельны и
равны
2)Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой
пополам
3)Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда
перпендикулярны его основаниям
4)У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники
5)У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны
6)V = a·b·c; V =S ocн.·h; S ocн.= а·b;
Sп.пов. = 2(ab+bc+ac);
d²= a² + b² + c²;

3.

№1 Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Решение:
Обьём куба выражается через
его ребро
Vкуба а 3
3
а 8
а 2
2
Sпов.куба 6а
S пов 6 2 2
Sпов 24
Ответ: 24.

4.

№2
Площадь поверхности куба равна 1682. Найдите его
диагональ.
Решение:
Площадь поверхности куба
равна
Sпов. куба = 6а2
а2 = 1682/6 = 841/3
d2 = a2 + a2 + a2 = 3a2 – квадрат
диагонали куба
d2 = 3∙ 841/3 = 841
d = √841 = 29
Ответ: 29.

5.

№3 Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра
увеличить в три раза?
Решение:
Объём куба равен
V1куба = а3
Если ребро увеличить в 3 раза, то
V 2куба = (3 ∙ а)3 = 27∙ а3.
Откуда имеем,
V 2куба / V 1куба = (27∙ а2)/ а2
V 2куба / V 1куба = 27.
Ответ: 27.

6.

№4
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем
увеличится на 331. Найдите ребро куба.
Решение:
Объём куба равен
V1куба = а3
Если ребро увеличить на 1, то
V 2куба = (а + 1)3 , что на 919 больше.
Откуда имеем, (а + 1)3 − а3 = 331
а3 + 3 а2 + 3 а + 1 − а3 = 331
3 а2 + 3 а − 330 = 0
а2 + а − 110 = 0
а =10 или а = − 11
Ответ: 10.

7.

№5 Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь
поверхности увеличится на 390. Найдите ребро куба.
Решение:
Площадь поверхности куба равна
S1куба = 6а2
Если ребро увеличить на 5, то
S2куба = 6(а + 5)2, что на 390 больше.
Откуда имеем, 6(а + 5)2 − 6а2 = 390
Поделив на 6, получим:
(а + 5)2 − а2 = 65
(а + 5 − а)(а + 5 + а) = 65
5(2а + 5) = 65
2а + 5 = 13
а=4
Ответ: 4.

8.

№6
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если
его ребро увеличить в 12 раз?
Решение:
Площадь поверхности куба равна
S1куба = 6а2
Если ребро увеличить в 12 раз, то
S2куба = 6(12 ∙ а)2 = 6 ∙ 144 ∙ а2.
Откуда имеем,
S2куба / S1куба = (6 ∙ 144 ∙ а2)/(6 ∙ а2)
S2куба / S1куба = 144.
Ответ: 144.

9.

№7
Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба.
Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше
площади поверхности второго куба?
Решение
Объемы подобных тел относятся как
куб коэффициента подобия, поэтому
V 1куба / V 2куба = 729 = k3. Откуда k = 9.
Площади поверхностей подобных тел
относятся как квадрат коэффициента
подобия, поэтому их отношение равно
S1куба / S1куба = k2 = 92 = 81.
Ответ: 81.

10.

№8
От деревянного кубика отпилили все его вершины (см.
рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника
(невидимые ребра на рисунке не обозначены)?
Решение
У кубика 6 граней. В результате
отпиливания 8 вершин
появились 8 граней. Всего 14
граней.
Ответ: 14.

11.

№9
Плоскость, проходящая через три точки A, B и С,
разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у
многогранника, у которого больше рёбер?
Решение
В сечении получается
четырёхугольник. У
одной отсечённой
фигуры 15 рёбер и 7
граней, у второй − 9
рёбер и 5 граней.
Следовательно, у
искомой фигуры 7
граней.
Ответ: 7.

12.

№10
Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной
грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите
площадь поверхности, которую необходимо покрасить.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь одной грани равна 10 ∙ 10 = 100 см2. В
кубе шесть граней, но нас просят найти только
площадь пяти граней, следовательно
100 ∙ 5 = 500 см2.
Ответ: 500.

13.

№11 К правильной треугольной призме со стороной
основания 1 приклеили правильную треугольную
пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали.
Сколько граней у получившегося многогранника
(невидимые ребра на рисунке не обозначены)?
Решение
Зная, что в треугольной призме
5 граней, а в треугольной
пирамиде 4 граней, но так как
две грани совпадают получаем:
5 + 4 − 2 = 7.
Ответ: 7.

14.

крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рис.),
№12 Двускатную
необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 2,5 м, длины
стен дома равны 10 м и 12 м. Найдите, какое количество рубероида (в
квадратных метрах) нужно для покрытия этой крыши, если скаты крыши
равны.
Решение
Чтобы найти, сколько рубероида (в кв.м) нужно
для покрытия этой крыши, необходимо найти
площадь скатов крыши. Скаты крыши
представляют собой прямоугольники. Площадь
прямоугольника равна произведению его ширину
на длину (S = а в).
Ширина скатов известна. Она равна а = 10 м.
Осталось найти длину. Длину ската находим по
теореме Пифагора:
в2 = 2,52 + 62 = 6,25 + 36 = 42,25, в = 6,5 м.
Площадь скатов крыши равна:
S = 2 ∙ (10 ∙ 6,5) = 2 ∙ 65 = 130 м2 – рубероида нужно
для покрытия этой крыши.
Ответ: 130.

15.

№13 Аквариум имеет форму прямоугольного параллепипеда с
длиной 50 см шириной 30 см и высотой 20 см. Какое
наибольшее количество литров воды он может вместись?
Решение
Чтобы найти объём параллелепипеда,
нужно умножить длину, ширину и высоту:
V = a∙b∙c =>
V = 50 см∙ 30 см∙ 20 см = 30 000 см3.
Переводим в литры:
1 литр = 1 дм3 = 1 000 см3
30 000 : 1 000 = 30 литров.
Ответ: 30.

16.

№14 Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
2
2
4
2
3
Решение.
Площадь поверхности
заданного многогранника
равна разности площади
поверхности прямоугольного
параллелепипеда с ребрами
4, 3, 2 и двух площадей
прямоугольников со
сторонами 2, 1 (выделены
цветом):
Sпов. = 2(4∙3 + 4∙2 + 3∙2 – 2∙1) = 48
Ответ: 48.

17.

№15 Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
4
2
1
1
4
5
Решение.
Площадь поверхности
данного многогранника
равна площади
поверхности
прямоугольного
параллелепипеда
с ребрами 4, 5, 4:
Sпов. = 2(4∙5 + 4∙4 + 4∙5) = 112
Ответ: 112.

18.

№16 Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
5
1
2
Решение:
Площадь поверхности
6
заданного многогранника
равна сумме площадей
2
поверхности прямоугольного
параллелепипеда с ребрами
6, 5, 1 и двух прямоугольников
со сторонами 1 и 2,
уменьшенной на площадь двух
прямоугольников со
сторонами 2 и 2:
Sпов. = 2(6∙5 + 6∙1 + 5∙1 + 1∙2 – 2∙2) = 78
Ответ: 78.

19.

№17 Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
2
Площадь поверхности
заданного многогранника
равна площади поверхности
прямоугольного
2
параллелепипеда с длиной
1
ребер 5, 3, 2 минус площади
четырёх прямоугольников с
2
длинами сторон
5
2 и (5 – 2)/2 = 1,5
Sпрямоуг. = 4 ∙ (2∙1,5 ) = 6
Sпараллел. = 2(5∙2 + 5∙3 + 2∙3) = 62
Sпов. = 62 − 12 = 50
Ответ: 50.

20.

№18 Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Площадь поверхности заданного
многогранника равна площади большого
параллелепипеда с ребрами 1, 4, 7 :
1
4
Sпараллел. = 2(7∙4 + 7∙1 + 4∙1) = 78,
2
2
7
уменьшенной на 2 площади
прямоугольника со сторонами 2, 2 —
передней грани, излишне учтенной при
расчете площади поверхности
параллелепипеда: Sпрямоуг 1. = 2 ∙ (2∙2 ) = 8
и плюс четыре площади прямоугольников
со сторонами 2, 1, прямоугольников
внутри : Sпрямоуг 2. = 4 ∙ (2∙1) = 8
Sпов. = 78 − 8 + 8 = 78
Ответ: 78.

21.

№19 Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
4
4
5
3
6
6
Решение:
Площадь поверхности заданного
многогранника равна сумме
площадей большого и маленького
параллелепипедов с ребрами 6, 6, 2 и
4, 4, 3, уменьшенной на 2 площади
квадрата со сторонами 4, 4 —
общей для обоих параллелепипедов,
излишне учтенной при расчете
площадей поверхности
параллелепипедов:
Sпов. = 2(6∙6 + 6∙2 + 6∙2 + 4∙4 + 4∙3 + 4∙3 – 4∙4) = 168
Ответ: 168.

22.

№20
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной
основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части
куба.
1
1
0,6
1
0,6
Решение:
Площадь поверхности получившегося
многогранника равна площади куба со
стороной 1: Sкуба = 13= 1,
уменьшенной на 2 площади квадрата со
стороной 0,6 — верхней и нижней
грани, излишне учтенной при расчете
площади поверхности куба:
Sквадрата = 2 ∙ (0,62)= 0,72, и плюс четыре
площади прямоугольников со
сторонами 0,6 и 1, прямоугольников
внутри: Sпрямоуг = 4 ∙ (0,6∙1) = 2,4
S = 1 − 0,72 + 2,4 = 7,68
Ответ: 7,68.

23.

№21 Найдите площадь поверхности пространственного
креста, изображенного на рисунке и составленного из
единичных кубов.
Решение:
Площадь поверхности креста
равна площади поверхности 6ти кубов, у которых
отсутствует одна из шести
граней.
Имеем,
Sпов. = 6Sкуба – 6а2 = 6 ∙ 6 ∙ а2 – 6а2
Sпов. = 36 – 6 = 30.
Ответ: 30.

24.

№22 Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Объем данного многогранника
равен разности объемов
параллелепипедов со
сторонами 5, 2, 4 и 1, 2, 2:
V = V1 − V2 = 5∙ 2∙ 4 − 1∙ 2∙ 2
= 40 − 4 = 36
Ответ: 36.

25.

№23 Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Объем данного многогранника
равен сумме объемов
параллелепипедов с ребрами
3, 3, 4 и 1, 1, 4. Значит
V = V1 + V2 = 3 ∙ 3 ∙ 4 − 1 ∙ 1∙ 4 =
= 36 + 4 = 40
Ответ: 40.

26.

№24 Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Объем данного многогранника
равен сумме объемов
параллелепипедов с ребрами
(5, 3, 2), (3, 3, 5) и (2, 3, 2).
Значит
V = V1 + V2 + V3 = 5 ∙ 3 ∙ 2 + 3 ∙ 3∙ 5 +
+ 2 ∙ 3 ∙ 2 = 30 + 45 + 12 = 87
Ответ: 87.

27.

№25 Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Объем данного многогранника
равен разности объемов
параллелепипедов с ребрами
6, 8, 1 и 1, 1, 3. Значит
V = V1 − V2 = 6 ∙ 8 ∙ 1 − 1 ∙ 1 ∙ 3 =
= 48 − 3 = 45
Ответ: 45.

28.

№26 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 1 и 3. Площадь поверхности
этого параллелепипеда равна 262. Найдите третье ребро,
выходящее из той же вершины.
1
3
Решение:
Площадь поверхности
параллелепипеда равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = ab = 3 ∙ 1 = 3
Sбок. = Росн. ∙ h = 2∙(3 + 1) ∙ h = 8h
Имеем, 262 = 2 ∙ 3 + 8h, откуда
найдем третье ребро
8h = 262 – 6
8h = 256
h = 32
Ответ: 32.

29.

№27 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 20 и 60. Площадь поверхности
параллелепипеда равна 4800. Найдите его диагональ.
Решение:
60
Площадь поверхности параллелепипеда равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = ab = 60 ∙ 20 = 1200
Sбок. = Росн. ∙ h = 2∙(60 + 20) ∙ h = 160h
Имеем, 4800 = 2 ∙ 1200 + 160h, откуда найдем
третье ребро
160h = 4800 – 2400
160h = 2400
20
h = 15
d2 = a2 + b2 + c2
d2 = 602 + 202 + 152 = 4225
d = 65 – диагональ параллелепипеда
Ответ: 65.

30.

№28 Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 12, 16 и 9. Найдите ребро
равновеликого ему куба.
Решение:
Равновеликие тела имеют
равные объемы
Vпар-да = аbc = 9 ∙ 12 ∙ 16 = 1728
Vкуба = а3 = 1728
a = 12.
9
12
16
Ответ: 12.