d28db10af1e44b39b4ee050b99c103aa (1)

1.

Касательная к
окружности.
Окружность,
вписанная в угол
1

2.

Касательная к
окружности. Урок изучения
нового материала на
практике.
Цели: познакомить
учащихся с понятием
касательной, её свойством и
признаком.
2

3.

ПОВТОРИ!
В
А
С
АВ – хорда
СD – диаметр - d
ОМ – радиус - r
О – центр
окружности
О
D
М
3

4.

ПОВТОРИ!
Определения
• Окружность — геометрическая фигура на плоскости,
все точки которой равноудалены от данной точки
(центра окружности).
• Ра́диус (лат. radius — спица колеса, луч) — отрезок,
соединяющий центр окружности с любой точкой,
лежащей на окружности. Радиус составляет половину
диаметра.
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на
окружности и проходящий через центр окружности.
Диаметр равен двум радиусам.
• Хо́рда (от греч. χορδή — струна) — отрезок,
соединяющий две точки окружности.
•Диаметр — это хорда, проходящая через центр
4

5. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

А
H
Н
В
d
d
r
О
r
d
О
r
О
d<r
d=r
две общие
точки
одна общая
точка
d>r
не имеют
общих точек

6. Касательная к окружности

Определение:
Прямая, имеющая с
окружностью только
одну общую точку,
называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
T
s=r
O

7. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

– касательная к
окружности с
центром О
Т – точка касания
OТ - радиус
Т
O

8. Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она

является касательной.
окружность с центром О
радиуса OM
M
m
m – прямая, которая
проходит через точку М
и m OM
m – касательная
O

9. Теорема

Центр вписанной в угол окружности
лежит на его биссектрисе.
Доказательство
Пусть О – центр некоторой окружности,
вписанной в ВАС. Пусть В – точка
касания окружности и касательной АВ, С –
точка касания окружности и касательной
АС. ОВ и ОС – радиусы, проведенные в
точки касания. Значит, ОВ АВ, ОС АС.
Тогда АВО и АСО – прямоугольные.
Они равны по общей гипотенузе АО и
равным катетам ВО и СО – радиусы. Из
равенства треугольников следует, что
ВАО = САО, а АО – биссектриса.

10. Теорема

Отрезки касательных к окружности,
проведенных из одной точки, равны и
составляют равные углы с прямой, проходящей
через эту точку и центр окружности.
Дано: АС и АВ – касательные
Доказать: АС = АВ, САО = ВАО
Доказательство
1. Так как АС и АВ – касательные, то АС ОС,
АВ ОВ, а АСО и АВО – прямоугольные.
2. АСО = АВО (по общей гипотенузе АО, и
равным катетам ОС = ОВ – радиусы).
3. Из равенства треугольников следует, что
АС = АВ, САО = ВАО

11. Свойство касательных, проходящих через одну точку:

Отрезки касательных к
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
составляют равные углы
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
▼ По свойству касательной
1 90o , 2 90o.
∆АВО, ∆АСО–прямоугольные
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе и
катету:
ОА – общая,
ОВ=ОС – радиусы
В
1
О
3
4
2
С
А
АВ=АС и 3 4
▲

12. Задание 1 Проверь себя!

13. Проверь себя!

14. Проверь себя!

15.

Задача 2
15

16. Задание 3

20

17. Задание 4

90
77

18.

18

19.

Задача 5
19

20.

По учебнику выполните:
№631,
Найти угол NOM
20

21. Подведение итогов

• 1) Прямая а –
касательная к
окружности.
• 2) r a.
• АВ, АС – касательные к
окружности
• 1 = 2
• АВ = АС.

22. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!