Асимптотические формулы в теории вероятностей

1. Асимптотические формулы

2. Формула Бернулли – точная формула. Однако при больших значениях N (большом числе испытаний) вычисления по ней становятся

громоздкими из-за
необходимости вычисления факториалов
больших чисел и степеней с большими
показателями.

3.

4. Локальная теорема Муавра Лапласа

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых
испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний
достаточно
велико, то вероятность Pn(m) того, что в n испытаниях событие А наступит
m раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции
На практике локальную формулу Лапласа применяют, если npq>10.

5.

Применять локальную теорему МуавраЛапласа рекомендуют в том случае, если
стандартная теорема Бернулли не работает
из-за большого объема вычислений
например, если надо вычислить число 58!
или 45!

6. Задача №1

❧
Вероятность рождения мальчика равна 0,512.
Найдите вероятность того, что среди 100
новорожденных будет ровно 51 мальчик

7. Задача№2

❧
Вероятность рождения девочки 0,485.
Найти вероятность того, что из 200
родившихся детей мальчиков и
девочек будет поровну

8. Интегральная теорема Лапласа

1.
Интегральная
теорема Лапласа
Интегральная
теорема
Лапласа
При больших n имеет место приближенное равенство
Pn (m1 m m2) Ф(х2) – Ф(х1),
np
np
m
m
где х1 =
, х2 =
,
1
2
npq
npq
Ф(х) = - Ф(-х) – функция нечетная.
Условие применения формулы: npq 10.

9. Задача. Вероятность получения с конвейра изделия 1 сорта 0,9.Определите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий

от 520 до 535 изделия будут 1
сорта.

10. Формула Пуассона

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к
нулю, число независимых испытаний n достаточно велико

11. Задача. Вероятность того, что на странице книги появится опечатка 0,005.Книга из 800страниц. Найти вероятность того, что

опечатка
содержится на 5 страницах.

12.

Название
формулы
Условие
Формула
применения
Пуассона
m
Pn(m)= m!
Локальная
теорема
МуавраЛапласа
Pn(m)
e
f (u )
npq
Интегральная Pn(m1≤m≤m2)
Ф(х2) –Ф(х1)
теорема
МуавраЛапласа
n
p 0
np≤10
npq≥10
npq≥10
m1≤m≤m2
Параметры
np
m np
u= npq
Свойства
функции
(четность)
функция
общего вида
функция
четная
при u>4 f(u) f(-u)= f(u)
0
m1 np
функция
нечетная
x1= npq
Ф(-х)=- Ф(х)
m np
2
x2= npq
при x>4 Ф(х)
0,5

13. Асимптотическая формула Пуассона

Задача 1.
Завод
отправил
потребителю
500
изделий.
Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002.
Найти вероятность того, что в пути будет
повреждено: 1) 3 изделия; 2) менее 3 изделий; 3)более 3
изделий; 4) хотя бы 1 изделие.

14. Асимптотическая формула Пуассона

Решение 1.
n = 500, вероятность p=0,002, произведение