Тройной интеграл. Виды поверхностей второго порядка. Замена переменных и цилиндрические координаты

1. Тройной интеграл

Виды поверхностей второго порядка
Замена переменных в тройном интеграле
Тройной интеграл в цилиндрических
координатах
1/17

2. Виды поверхностей второго порядка

2/17
1 Цилиндрические поверхности
F ( x; y ) 0
Всякое уравнение, не содержащее переменной z и
представляющее на плоскости XOY некоторую линию L
представляет в пространстве цилиндрическую поверхность, у
которой образующая параллельна оси OZ, а направляющей
служит линия L.
Правило
Для построения этой поверхности рисуем линию на плоскости
XOY с таким же уравнением, затем переносим ее параллельно
оси OZ.

3. Виды поверхностей второго порядка

Уравнение
Пример 1
2
3/17
Уравнение
Пример 2
x2 y 2
2 1
2
a
b
2
x
y
2 1
2
a
b
представляет на плоскости
XOY эллипс с полуосями а и b.
z
представляет на плоскости
XOY гиперболу с полуосями а и
z
b.
-a
0
a
x
b
y
эллиптический
цилиндр
a
x
0
y
гиперболический
цилиндр

4. Виды поверхностей второго порядка

4/17
F ( x; z ) 0; F ( y ; z ) 0
Эти уравнения представляют собой цилиндрические поверхности у
которых образующие параллельны осям OY и OX.
Для построения первой поверхности рисуем линию на плоскости
XOZ, затем переносим ее параллельно оси OY , для построения
второй поверхности рисуем линию на плоскости YOZ, затем
переносим ее параллельно оси OX .
z
Пример 3
Уравнение
y 2 2pz
параболический
цилиндр
представляет на
плоскости YOZ
параболу.
0
x
y

5. Виды поверхностей второго порядка

2
5/17
Поверхности вращения
F ( x 2 y 2; z) 0
Уравнение поверхности содержит переменные x и y в виде
x2 y 2
Правило
Для построения этой поверхности задаем x = 0, рисуем линию
на плоскости YOZ с уравнением F ( y 2 ; z ) 0 , затем
вращаем ее вокруг оси OZ.
Аналогично изображаются поверхности:
F ( x 2 z 2; y ) 0
(задаем x = 0, рисуем линию на плоскости
YOZ , затем вращаем ее вокруг оси OY )
F (y 2 z2; x ) 0
(задаем y = 0, рисуем линию на плоскости
XOZ , затем вращаем ее вокруг оси OX )

6. Виды поверхностей второго порядка

6/17
z x2 y 2
Пример 4
Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
z y
2
z
параболоид
вращения
0
x
y

7. Виды поверхностей второго порядка

7/17
z2 x 2 y 2
Пример 5
Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
z2 y 2
z y
- уравнения двух прямых
z
конус
0
x
y

8. Виды поверхностей второго порядка

8/17
x 2 y 2 z2 R 2
Пример 6
Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
y 2 z2 R 2
- уравнение окружности
z
сфера
0
y
x
В общем случае уравнение сферы с центром в точке (a; b; c) и
2
2
2
x a y b z c R2
радиусом R:

9. Замена переменных в тройном интеграле

9/17
Пусть в замкнутой области V пространства задана непрерывная
функция F = f(x, y, z).
Заменим переменные :
x (u,v ,w )
y (u,v ,w )
z (u,v ,w )
Пусть функции x, y и z имеют в некоторой области V* плоскости
0uvw непрерывные частные производные и не равный нулю
определитель:
x
u
y
I (u,v ,w )
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w
определитель Якоби
(якобиан)

10. Замена переменных в тройном интеграле

10/17
Тогда справедлива формула замены переменной в тройном
интеграле:
f ( x, y, z)dxdydz
V
f ( (u,v,w ); (u,v,w ); (u,v,w )) I(u,v,w ) dudvdw
V
Для вычисления тройного интеграла наиболее часто используют
так называемые цилиндрические и сферические
координаты.

11. Цилиндрические координаты

11/17
Положение точки M(x; y; z) в пространстве можно определить
заданием трех чисел r; φ; z.
z
r – длина радиус – вектора проекции
точки M на плоскость X0Y.
M(x; y; z)
M(r; φ; z)
φ – угол, образованный этим радиус
– вектором с осью 0X.
z – аппликата точки М.
z
0
φ
x
r
Эти три числа (r; φ; z) называются цилиндрическими
координатами точки М.
y

12. Цилиндрические координаты

12/17
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми
координатами следующими соотношениями:
x r cos ;
y r sin ;
z z.
(r 0; 0 2 ; z R)
Возьмем в качестве u, v, w цилиндрические координаты r, φ, z и
вычислим Якобиан преобразования:
x
r
y
I ( r , , z )
r
z
r
x
y
z
x
z
cos r sin 0
y sin r cos 0 cos
sin
z
0
0
1
z
z
r cos2 r sin2 r
r sin
r cos

13. Цилиндрические координаты

13/17
Формула замены переменных примет вид:
f ( x, y, z)dxdydz f (r cos ; r sin ; z) r dr d dz
V
V
z2 ( r ; )
f (r ; ; z ) r dr d dz dr d f (r ; ; z ) r dz
z1( r ; )
V
D
Внутренний интеграл берется по переменной z, пределы
расставляются также, как в декартовых координатах (уравнения
поверхностей должны быть приведены к цилиндрическим
координатам) .
Оставшийся двойной интеграл – это интеграл в полярных
координатах по области D.

14. Цилиндрические координаты

14/17
Замечание
К цилиндрическим координатам удобно переходить в том случае,
если область D (проекция области V на XOY) – круг или часть
круга или если область V образована цилиндрической
поверхностью.
Вычислить
z dxdydz
V
V – область, ограниченная верхней частью конуса
z2 x 2 y 2
и плоскостью
z = 1.

15. Цилиндрические координаты

z
z=1
15/17
y
x2
y 21 1
r=
zz = rx 2 y 2
0
y
D
0
x
x
Приведем уравнение конуса к цилиндрическим координатам:
z x 2 y 2 z (r cos )2 (r sin )2 z r
Найдем уравнение линии, ограничивающей область D:
z x 2 y 2
2
2
x
y
1
z 1
В полярных координатах:
r=1

16. Цилиндрические координаты

z
z = 11
16/17
y
r = 11
0
z=r
D
y
0
x
x
Расставим пределы интегрирования:
1
2
z r dr d dz dr d z r dz d dr z r dz
0 0 r
V
D

17. Цилиндрические координаты

2
1
1
0
0
r
d dr z r dz
2
1
z
0 d 0 dr 2 r
r
1
2
2
1
r
r
r r
d dr d
2 2
4 8 0
0
0
0
2
2
1
3
2
1
1 1
d
4 8
8 0
4
0
2
4
17/17