Глава 6 Кратные интегралы

1.

Глава 6 Кратные интегралы
§ 1. Двойной интеграл
Пусть в замкнутой области D плоскости OXY задана
непрерывная функция z f x, y . Разобьем область D на n
элементарных областей Di i 1,2,..., n с площадями si и
диаметрами di. В каждой области Di выберем точку M i xi , yi (рис.
6.1).
Y D Mi
Интегральной суммой функции
Di
z f x, y в области D называют
выражение
n
f xi , yi si .
i 1
O
X
Рисунок 6.1

2.

Двойным интегралом от функции z f x, y по области D
называют предел интегральной суммы при n и max d i 0 ,
если он существует и не зависит от способа разбиения области D на
элементарные области и выбора точек M i xi , yi , и обозначают
f x, y ds .
D
В этом случае функцию f x, y называют интегрируемой в области
D; D – областью интегрирования; x,y – переменными
интегрирования; ds – элементом площади. Следовательно, можно
написать
n
f xi , yi si .
f x, y ds n ,lim
max d 0
i 1
D
i
Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция f x, y непрерывна в замкнутой области D, то она
интегрируема в этой области.
Далее рассматриваются только интегрируемые функции.

3.

Так как область D можно разбить на элементарные области Di
прямыми линиями, параллельными осям OX и OY, то можно
положить si xi yi . Следовательно, можно написать ds dxdy и
n
f xi , yi xi yi .
f x, y ds f x, y dxdy n lim
,max d 0
i 1
D
i
D
Основные свойства двойного интеграла.
1) cf x, y dxdy c f x, y dxdy , c const .
D
D
2) f x, y g x, y dxdy f x, y g x, y dxdy .
D
D
D
3) f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy ,
D
D1
если
D2
D D1 D2 и пересечение областей D1 и D2 состоит из линии,
разделяющей области D1 и D2 .
4) f x, y dxdy 0 , если f x, y 0 в области D.
D

4.

5) f x, y dxdy g x, y dxdy , если f x, y g x, y в области
D
D
D.
6) ds S , если S – площадь области D.
D
7) mS f x, y dxdy MS , если S – площадь области D, m –
D
наименьшее, M – наибольшее значение функции f x, y в области
D.
8) Если S – площадь области D, то в области D существует
такая точка x0 , y 0 , что f x, y dxdy f x0 , y0 S . Число
D
f x, y dxdy
f x0 , y 0 D
S
называют средним значением функции f x, y в области D.

5.

§ 2. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
Пусть область D ограничена
y Mвых
y= 2 (x)
линиями слева x a , справа x b
( a b ), снизу y 1 x , сверху y 2 x ,
D
функции 1 x и 2 x непрерывны и
Mвх
y= 1 (x)
1 x 2 x для всех x a, b (рис. 6.2).
b X
Такую область D называют правильной в O a
направлении оси OY: любая прямая,
Рисунок 6.2
параллельная оси OY, пересекает границу
области не более чем в двух точках – точке входа Mвх и точке
выхода Mвых. В этом случае
b 2 x
b
2 x
.
f
x
,
y
dxdy
f
x
,
y
dy
dx
dx
f
x
,
y
dy
D
a 1 x
a
x
1

6.

Правую часть формулы называют двукратным (повторным)
интегралом от функции f x, y по области D, интеграл
2 x
f x, y dy
1 x
называют внутренним. При вычислении двукратного интеграла
сначала берут внутренний интеграл по переменной y при x const , а
затем берут внешний интеграл.
Пусть область D ограничена линиями Y x= 1 (y) x= 2 (y)
снизу y c , сверху y d ( c d ), слева d
D
x 1 y , справа x 2 y , функции 1 y
Mвх
Mвых
и 2 y непрерывны и 1 y 2 y для всех
y c, d (рис. 6.3). Такую область D c
X
называют правильной в направлении оси OX: O
любая прямая, параллельная оси OX,
Рисунок 6.3
пересекает границу области не более чем в
двух точках – точке входа Mвх и точке выхода Mвых. В этом случае
d 2 y
d
2 y
f x, y dxdy f x, y dx dy dy f x, y dx .
D
c 1 y
c
1 y

7.

Если область D не является правильной в направлении осей OX
или OY, то ее необходимо разбить на правильные области в
направлении осей OX или OY.
Y
Пример. Вычислить x y dxdy ,
y=x+2 2
D
область D ограничена линиями y x 2 ,
2
y=x
y 0 , y x 2 (рис. 6.4).
1
Область интегрирования D правильная
D
в направлении оси OX: любая прямая,
D1 D2
параллельная оси OX, пересекает границу 2
1
O
X
области не более чем в двух точках.
Рисунок 6.4
Следовательно, интегрируя по области D,
имеем
y
1
y
1 x2
f x, y dxdy dy x y dx dy 2 yx
D
0
y 2
y 2
0

8.

2
y
y
2
dy y y
y y 2
2
2
0
3
1
2
y
y
2
2
dy
y
2y 2 y 2y
2
2
0
1
1
3
5
2
2
3
9
y
3
y
9
y
2
y
2
dy 2 y
y2
y2
0
2
2
4
5
2
1
0
9 2 1
13
.
4 5 2
20
Если разбить область D на области D1 и D2, правильные в
направлении оси OY, то получим
2

9.

x 2
x2
1
2
y
f x, y dxdy dx x y dy dx x y dy dx xy 2
D
2 0
1 0
0
2
1
x 2
0
x2
1
0
2
3 x4
y2
x2 4x 4
x 2 x
dx x dx
dx xy
2 0 2
2
2
1
1
0
1
0
3 x4
3 2
2 4 x x dx x dx
2
2
2
1
1
0
x
x
x
2
2 x 2 x
2 2 4 10 1
1
13
1 1
2 2 4 8 4
2
20
4 10
3
4
5