Кратные интегралы

1.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.

План:
1. Двойные интегралы и их свойства
2. Вычисление двойного интеграла
3. Тройные интегралы
4. Свойства тройного интеграла и их вычисления
5. Геометрические и физические приложения
кратных интегралов

3. Двойные интегралы

y
0
x
Рассмотрим уравнение
некоторой замкнутой кривой
на плоскости f(x, y) = 0.
Пусть множество всех точек
внутри кривой,
расположенных на самой
кривой, представляет собой
замкнутую область .
Если выбирать точки области
без учета точек на кривой,
область Δ называется
незамкнутой.
С геометрической точки
зрения Δ — это площадь
фигуры, ограниченная
контуром.

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Площадь делим на элементарные прямоугольники, площади
которых равны Si = xi yi
В каждой частичной области возьмем произвольную точку
Р(хi, yi) и составим интегральную сумму
i n
f (x , y ) S ;
i 1
i
i
i
где где f – функция непрерывная и однозначная для всех
точек области .
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей
i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si
стремится к нулю.

5. Определение:

Если при стремлении кi nнулю шага разбиения области
интегральные суммы f ( xi , y i ) S i имеют конечный предел, то
этот предел называетсяi 1двойным интегралом от функции
f(x, y) по области .
i n
т.е.
lim f ( xi , yi ) S i f ( x, y)dxdy
n
i 1
С учетом того, что Si = xi yi получаем:
i n
i n i n
f ( x , y )S f ( x , y ) y x
i 1
i
i
i
i
i 1 i 1
i
i
i
f ( x, y)dydx lim f ( x, y) y x
x 0
y 0

6. Условие существования двойного интеграла

Теорема f (x, y) ограничена в замкнутой области и
непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно –
гладких линий, то двойной интеграл
f ( x, y)d
существует.

7.

Свойства двойного интеграла:
1
c f ( x; y )dxdy c f ( x; y )dxdy
D
2
D
f ( x; y ) f ( x; y ) dx dy f ( x; y ) dx dy f ( x; y ) dx dy
1
D
2
1
D
2
D

8.

Свойства двойного интеграла:
3. Если область f(x, y) 0, то
f ( x, y)dydx 0
4. Если f1(x, y) f2(x, y), то
f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx
1
2

9. Вычисление двойного интеграла

y = (x)
y
Теорема. Если функция f(x, y) будет
непрерывной в замкнутой области
и ограничена линиями х = а, х = b
(а < b), у = (y), у = (y), ( (y)
(y)) , тогда
а
b
( x)
b
( x)
f ( x, y )dy dx dx f ( x, y )dy
f
(
x
,
y
)
dxdy
a ( x)
a ( x)
b

10. Вычисление двойного интеграла

Теорема. Если функция f(x, y) будет непрерывной в замкнутой
области и ограничена линиями y = c, y = d (c < d), x = (y),
x = (y), ( (y) (y)) , то
d
( y)
c
( y)
f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx

11. Пример:

y
2
2
(
x
y
)dxdy
y=x
2
Вычислите интеграл, если замкнутая область
ограничена следующими прямыми:
y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
1
0
Решение:
x
2
3
y
x
4 3
4 4 2 64 4
2
2
2
2
2
( x y )dxdy 1 dy 0 ( x y )dx 1 3 y x 0 dy 1 3 y dy 12 y 1 12 12 5
2
x
2

12. Пример

2
(
3
x
2 xy y)dxdy
Вычислите интеграл,
следующими прямыми:
если
замкнутая
область
х = 0, х = у2, у = 2.
Решение:
2
(
3
x
2 xy y)dxdy
2
y2
2
y2
0
0
0
0
dy (3 x 2 2 xy y )dx ( x 3 yx 2 yx) dy
7
6
4
2
y
y
y
244
6
5
3
( y y y )dy
6
4 0
21
7
0
2
ограничена

13.

Пример:
x 4y dxdy
2
S : 0,3 0, 2
S
Решение
:
2
2
2
2
2
x
4
y
dxdy
x
4
y
dy
dx
dx
x
y
2
y
0
S
0 0
0
3
2 x 8
0
2
3
2
3
3
2 x
8 x 42
dx
3
0
3

14. Пример:

2
2
(
x
y
)dxdy
Вычислите интеграл, если замкнутая область ограничена
следующими прямыми: y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
Решение:
3
y
x
2
2
2
2
2
(
x
y
)
dxdy
dy
(
x
y
)
dx
y
x dy
1 0
1 3
0
2
2
x
4 3
4 4 2 64 4
1 3 y dy 12 y 1 12 12 5
2

15.

Пример:

16.

Замена переменной в двойном интеграле
Рассмотрим двойной интеграл вида
F ( x, y)dydx
Здесь переменная х изменяется от а к b , а переменная у от у1(x) к
у2(х), значит
у ( x)
b
2
F ( x, y)dydx dx F ( x, y)dy
a
у1 ( x )
Если взять х = х(u, v); y = у(u, v), тогда

17. Замена переменной в двойном интеграле

Тройной интеграл
f ( x, y, z)dxdydz lim f ( x, y, z) x y z
x 0
y 0
z 0
r
v
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного
интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а
областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в
трехмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой
поверхностью (x, y, z) = 0.
x2 y 2 z 2
f ( x, y, z)dxdydz f ( x, y, z)dzdydx
r
x1 y1 z1
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми
функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями
от х и у или постоянными величинами.

18. Тройной интеграл

Вычислите интеграл, если замкнутая область U ограничена следующими
прямыми :

19.

Шешуі:

20.

1 x 2 xy
2
x
yzdzdydx
Пример
0 0 0
вычислить интеграл.
Решение:
1 x 2 xy
1 x2
1 x2
z
1
2
2 2
x
yzdzdydx
x
y
dydx
x
yx
y dydx
0 0 0
0 0 2 0
20 0
2
2 xy
2
1
1 4 y
4 3
dx
x y dydx x
20 0
2 0 4 0
1 x2
1
1
4
8
4 x2
1
1 x x
1 12
1 1 13 1
1
dx x dx x
.
20 4
80
8 13
104
0

21. Пример

Тройной интеграл
( x y z )dxdydz
V
Где V, область ограниченная линиями:
x=0, у=0, z=0, x+y+z=1

22.

z
D
x
y

23.

1
По переменной z интегрируем от 0 до z=1-x-y:
1 x y
( x y z)dxdydz dxdy ( x y z)dz
V
D
0
1 x y
z
dxdy ( x y ) z
2 0
D
2
(1 x y) 2
dxdy ( x y) (1 x y)
2
D

24.

2
(
1
x
y
)
2
2
dxdy x y x xy xy y
2
D
2
(
1
x
y
)
2
dxdy ( x y) ( x y)
2
D
2
Теперь по области D определим границы: это треугольник
со сторонами x=0, y=0, x+y=1:

25.

1 x
2
(
1
x
y
)
2
dx dy ( x y) ( x y)
2
0
0
1
1 x
( x y ) ( x y ) (1 x y )
dx
3
6
2
0
0
1
2
3
1 x 2 1 x 3 (1 x)3
dx
6
2 2 3 3
0
1
3

26.

Замена переменных в тройном интеграле
Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична
соответствующей операции для двойного интеграла.
Можно записать:
F ( x, y, z )dxdydz
r
F ( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) i dudvdw
мұндағы
x
u
y
i
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w

27. Замена переменных в тройном интеграле

Геометрические и физические
приложения кратных интегралов.
1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
Площадь S, показанная на
рисунке
может
быть
вычислена
с
помощью
двойного
интеграла
по
формуле:
y = (x)
S
b ( x )
y = f(x)
a
b
x
S dydx
a f ( x)

28. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

Пример.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Решение: построим графики
заданных функций:
Линии пересекаются в двух
точках – (0, 2) и (8, -6). Таким
образом, область
интегрирования ограничена по
оси Ох графиками кривых от до
х = 2 – у, а по оси
Оу – от –6 до 2.
6
4
2
-2
2
-2
-4
-6
4
6
8

29. Пример.

Тогда искомая площадь равна:
S=
2 2 y
y2 4
6 2 dxdy 6 2 y 4 dy
y 4
2
4
2
8 4 y y2 4
1
dy y 2 4 y 12 dy
4
4 6
6
2
2
1 y3 4 y2
12 y
4 3
2
6
1 8
36 6 4 36
8 24
12 6
4 3
2
3
1
8
1
88 21
4
3
3

30. Тогда искомая площадь равна:

2) Вычисление площадей в полярных
координатах.
2 ( )
S d d dydx d d
1 f ( )

31. 2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел.
z
Пусть тело ограничено
снизу плоскостью ху, а
сверху– поверхностью
z = f(x, y)
x1
y1
z = f(x,y), а с боков –
цилиндрической
поверхностью. Такое тело
называется цилиндроид.
x2
x
y2
y
x2 y 2
z y x zdydx zdydx
V = lim
x 0
x1 y1

32. 3) Вычисление объемов тел.

Пример.
Вычислить объем, ограниченный поверхностями:
x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ:
y1 1 x 2 ;
по оси ОY:
y2 1 x 2 ;
x1 = -1; x2 = 1;
Решение:
1
V
1 x 2
(3 x y)dydx 3 ;
1 1 x 2

33. Пример.

4) Вычисление площади кривой
поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по
формуле:
2
S
2
2
f f f
x y z
dydx
f
z
Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь этой
поверхности вычисляется по формуле:
S
2
2
z z
1 dydx
x y

34. 4) Вычисление площади кривой поверхности.

5) Вычисление объемов тел с
помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по
формуле:
x2 y 2 z 2
V dzdydx
x1 y1 z1
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 –
постоянные.