Использование сингулярного разложения матриц в теории управления

1.

Использование сингулярного разложения матриц в
теории управления

2.

3.

4.

5.

G=[5 4;3 2]
[U,S,V]=svd(G)
norm(V(:,1))
maxgain=norm(G*V(:,1))
maxoutput=G*V(:,1)/norm(G*V(:,1))
norm(V(:,2))
mingain=norm(G*V(:,2))
minoutput=G*V(:,1)/norm(G*V(:,1))
Построить в MATLAB
Fig. 3.5 !!!!!!!!!
G=
5 4
3 2
U=
-0.8718 -0.4899
-0.4899 0.8718
S=
7.3434
0
0 0.2724
V=
-0.7937 0.6083
-0.6083 -0.7937
ans = 1
maxgain = 7.3434
maxoutput =
-0.8718
-0.4899
ans = 1
mingain = 0.2724
minoutput =
-0.8718
-0.4899

6.

Собственные значения матрицы, в отличие от сингулярных чисел
матрицы, не несут информации о коэффициенте усиления.
Пример:
Оба собственных значения равны нулю, но коэффициент усиления
системы
равен 100 для
.
Обобщением понятия «коэффициент усиления» на матрицы служит
понятие «норма матрицы».

7.

8.

9.

G=[5 4;3 2]
[U,S,V]=svd(G)
V(:,1)'*V(:,2)
U(:,1)'*U(:,2)
V(:,2)'*V(:,1)
U(:,2)'*U(:,1)
G=
5 4
3 2
U=
-0.8718 -0.4899
-0.4899 0.8718
S=
7.3434
0
0 0.2724
V=
-0.7937 0.6083
-0.6083 -0.7937
ans = 0
ans = -5.5511e-17
ans = 0
ans = -5.5511e-17

10.

Частотные свойства сингулярных чисел передаточной матрицы
Для динамических систем сингулярные значения и связанные с ними
максимальный и минимальный коэффициент усиления и
соответствующие направления меняются в зависимости от частоты
входного сигнала (для целей управления основной интерес
представляет частотный диапазон, соответствующий полосе
пропускания замкнутого контура). Объект управления – MIMO система
Построить этот график в MATLAB !!!
График зависимости сингулярных значений от частоты

11.

G1=tf(1,[1 0 100]);
G2=[tf([1 -100],1) tf([10 10],1);tf([-10 -10],1) tf([1 -100],1)];
[A,PH,w] = bode(G2*G1);
for i= 1:size(A,3)
Y(i,:)=svds(A(:,:,i)); % ВЫЧИСЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ МАТРИЦЫ
end
loglog(w,Y)
axis([10^-2 10^2 10^-1 10^2])

12.

Построить этот график в MATLAB !!!
sigma(G)