Двойной интеграл, его свойства и приложения

1.

Лекция 5
Двойной интеграл, его свойства. Вычисление
двойных интегралов в прямоугольных и полярных
координатах. Приложения двойного интеграла
Старший преподаватель Грипп1 Е.А.

2. Двойной интеграл

Основные понятия
Геометрический смысл двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
• Вычисление двойного интеграла в полярных
координатах
• Приложения двойного интеграла

3.

Основные понятия
Двойной интеграл представляет собой обобщение
определенного интеграла на случай функции двух
переменных.
В этом случае вместо отрезка интегрирования будет
присутствовать какая-то плоская фигура, некоторая
область, в которой будет определена функция двух
переменных

4. Основные понятия

Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная
функция z = f(x, y).
Разобьем область D на n
«элементарных областей» Di,
площади которых обозначим через
ΔSi, а диаметры (наибольшее
расстояние между точками
области) через di.
y
Di
В каждой области Di выберем
произвольную точку Mi(xi; yi).
Составим сумму вида:
D
Mi(xi; yi).
0
x

5. Основные понятия

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, y) в
области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к
бесконечности, таким образом, что
Если этот предел существует и не зависит от способа
разбиения области D на части, ни от выбора точек в них,
то он называется двойным интегралом от функции f(x; y)
по области D и обозначается:

6. Основные понятия

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством:
Функция f(x; y) называется интегрируемой в области D,
D – область интегрирования,
x; y – переменные интегрирования,
dxdy (или dS) – элемент площади.

7. Геометрический смысл двойного интеграла

f(xi ; yi)
Рассмотрим тело, ограниченное сверху
поверхностью z = f(x; y), снизу замкнутой
областью D на плоскости XOY, с боков
цилиндрической поверхностью,
образующая которой параллельна оси
OZ, а направляющей служит граница
области D.
z
Такое тело называют цилиндрическим.
Bеличина двойного интеграла
от неотрицательной функции равна
объему цилиндрического тела.
0
y
Di
x