5.1.1. Лекция Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределепоследовательности

1. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ И
СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛА
МОНОТОННОЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

2. Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

НАЙДИТЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
И ПОКАЖИТЕ ИХ С ПОМОЩЬЮ СТРЕЛКИ:
1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

3. Что такое числовая последовательность?

ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛОВАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ?
Если каждому натуральному числу п поставлено в
соответствие некоторое действительное число хп
, то говорят,
что задана числовая последовательность.
Числовая последовательность – это функция,
область определения которой есть множество N
всех натуральных чисел. Множество значений
этой функции – совокупность чисел хп , п ϵ Ν,
называют множеством значений
последовательности.

4.

Способы задания
последовательности
Словесный
Аналитический
Рекуррентный
Рекуррентный (от лат. слова
recurrens – «возвращающийся»)

5. Словесный способ.

СЛОВЕСНЫЙ
СПОСОБ.
Правила задания последовательности
описываются словами, без указания
формул или когда закономерности между
элементами последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых
чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4,
12, 25, 26, 33, 39, ... .
Пример 3. Последовательность чётных
чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

6. Аналитический способ.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ.
с помощью формулы.
Пример 1. Последовательность чётных чисел:
y = 2n;
2, 4, 6, 8, …, 2п,… .
Пример 2. Последовательность квадрата
натуральных чисел: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Пример 3. Последовательность y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .

7. Рекуррентный способ.

РЕКУРРЕНТНЫЙ СПОСОБ.
Указывается правило, позволяющее вычислить nй элемент последовательности, если известны
её предыдущие элементы.
Пример 1. a1=a, an+1=an+d, где a и d – заданные
числа. Пусть a1=5, d=0,7, тогда
последовательность будет иметь вид: 5; 5,7;
6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
Пример 2. b1= b, bn+1= bn q, где b и q – заданные
числа. Пусть b1=23, q=½, тогда
последовательность будет иметь вид: 23; 11,5;
5,75; 2,875; ... .

8. Предел числовой последовательности

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим две числовые последовательности:
( xn ) : 2, 4, 6, 8, 10, …, 2п
( yn ) : 1,
,
,
,
1
2
1
4
,…
,…;
1
8
1
16
,…
1
2n
Изобразим члены этих последовательностей
точками на координатных прямых.
Обратите внимание как ведут себя члены
последовательности.

9. Замечаем, что члены последовательности уп как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности хп таковой точки не

хn
yn
ЗАМЕЧАЕМ, ЧТО ЧЛЕНЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
УП КАК БЫ «СГУЩАЮТСЯ» ОКОЛО ТОЧКИ 0, А У
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ХП
ТАКОВОЙ ТОЧКИ НЕ
НАБЛЮДАЕТСЯ.
Но, естественно, не всегда удобно изображать члены
последовательности, чтобы узнать есть ли точка
«сгущения» или нет, поэтому математики придумали
следующее…

10.

Определение 1.
Пусть a - точка прямой, а r
положительное число. Интервал (a-r,
a+r) называют окрестностью точки a ,
а число r радиусом окрестности.
Геометрически это выглядит так:

11. Например

НАПРИМЕР
(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус
окрестности равен 0. 3.
Теперь можно перейти к определению точки
«сгущения», которую математики назвали
«пределом последовательности».

12.

Число b называется пределом последовательности
{уп } если в любой заранее выбранной
окрестности точки b содержатся все члены
последовательности, начиная с некоторого
номера.
Пишут:
Читают:
yn . b
y n стремится к b .
Либо пишут:
lim yn b
.
n
Читают: предел последовательности уп при
стремлении п к бесконечности равен b.

13.

Последовательность, имеющая
предел, называется сходящейся; в
противном случае –
расходящейся.

14. Рассмотрим последовательность:

РАССМОТРИМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ:
1 1 1 1
1 – гармонический ряд
1; ; ; ; ; ...; ; ...
2 3 4 5
n
Если m N, k R, то
Если │q│< 1, то
lim
k
n n
m
1
lim 0
n n
0
lim q n 0
n
Если │q│> 1, то последовательность уn = q n
расходится

15. Свойства пределов

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
Если
lim хn, b,
n
lim yn с
n
1. предел суммы равен сумме пределов:
lim хn уn b c
n
2. предел произведения равен произведению пределов:
lim хn уn bc
n
3. предел частного равен частному пределов:
хn b
lim
n у n
с
4. постоянный множитель можно вынести за знак
предела:
lim kхn kb
n

16. Примеры:

ПРИМЕРЫ:
1
1
1 1
1) lim 2 lim lim lim 0 0 0
n n
n n n
n n n n
1
2
5
2 5
2) lim 2 3 lim lim 2 lim 3 0 0 3 3
n n
n
n
n n n n
1
1
1
1 1
lim
...
lim
...
lim
0 ... 0 0
k
n n
n n n
n n n n n
3) lim
1
2n 2
3
3
3
lim
2
2
2 2
2
2
2n 2 3
n
n
n lim
n
lim n
4) lim 2
4
n n 4
n n 2
n
4
4
1
lim
1
2 2
2
2
n
n
n
n
n
3
lim 2 lim 2
n
n n
2 0
2
4 1 0
lim 1 lim 2
n
n n

17.

Горизонтальная асимптота графика
функции
lim f ( n ) b
n
Это равенство означает, что прямая у = b
является горизонтальной асимптотой
графика последовательности yn = f(n), то
есть графика функции y = f(х), х N
у
у=b
y = f(x)
0
х

18. Предел функции в точке

lim f(x) b
x a
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a,
если для каждого положительного числа ε, как бы мало
оно не было, можно указать такое положительное
число δ, что при всех x ≠ a из области определения
функции, удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ,
имеет место неравенство |f(x) − b| < ε.
у
y = f(x)
b
0
а
х

19. Непрерывность функции в точке

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке
x = a, если выполняется условие
lim f(x) f ( a )
x a
Примеры:
1 lim x 3 2x 2 5x 3 13 2 12 5 1 3 7
x 1
2 lim
x 2
sin πx
x 4
sin 2π
2 4
0
2 4
0
x2 9 0
x 3 x 3
x 3
3 lim
lim
lim
x 3 4x 12
x 3 4
0 x 3 4 x 3
3 3
6
1,5
4
4

20. Понятие непрерывности функции

ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
ФУНКЦИИ
На рисунке изображен
график функции, состоящий из
двух «кусков». Каждый из них
может быть нарисован без
отрыва от бумаги. Однако эти
«куски» не соединены
непрерывно в точке х =1.
Поэтому все значения х, кроме х =1,
называют точками непрерывности
функции у = f(х), а точку х =1 – точкой
разрыва этой функции.