Неопределённый интеграл. Методы интегрирования

1.

2. 7. Неопределённый интеграл

7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.1 Основные понятия
7.2 Методы интегрирования
7.3 Интегрирование рациональных функций
7.4 Интегрирование тригонометрических функций
7.5 Интегрирование иррациональных функций

3. 7. Неопределённый интеграл

7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.2 Методы интегрирования
7.2.1 Метод подведения под знак дифференциала
7.2.2 Метод интегрирования подстановкой
7.2.3 Метод интегрирования по частям

4. 7.2.1 Метод подведения под знак дифференциала

7.2.1 МЕТОД ПОДВЕДЕНИЯ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Свойство инвариантности формулы интегрирования
Если f x dx F x C , то f u du F u C.
1) Пусть u = (x) – непрерывно дифференцируемая функция, тогда
f x d x f x x dx F x C
интегрируем
Подведение под знак
дифференциала
2) Пусть x = x(t) – непрерывно дифференцируемая функция, тогда
f x t d x t f x t x t dt F x t C
дифференцируем
Интегрирование
подстановкой

5. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Метод подведения под знак дифференциала и метод интегрирования
подстановкой имеют общую теоретическую основу, поэтому в
большинстве случаев взаимозаменяемы.
Внимание!
Метод подведения под знак дифференциала в нашем курсе математики
использоваться не будет.
Применять его при вычислении интегралов запрещается!!!
Общая схема для метода интегрирования подстановкой
f x dx f x t x t dt F x t C
x x t
t x
dx x t dt

6. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Примеры
x
t
4
2023
1) x x 4 dx t x 4
dx t 4 dt dt
t 4 t 4 4
2023
2023
2024
2023
t
4
t
dt
t
4
t
dt
dt
2025
2024
t
t
4
C
t 2024 dt 4 t 2023dt
2025
2024
x 4
t x 4
2025
2025
x 4
506
2024
C

7. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
x
sin
t
2
1
sin
t cos tdt
2) 1 x 2 dx t arcsin x
dx sin t dt cos tdt
1 cos 2t
1
1
cos 2 tdt
dt dt cos 2tdt
2
2
2
Примеры
u 2t
1
cos
2tdt
cos
u
du
1
2
du 2t dt 2dt dt 2 du
1
1
1
u
2
t
cos udu sin u C
sin 2t C
2
2
2
t sin 2t
arcsin x sin 2arcsin x
C t arcsin x
C
2
4
2
4

8. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Частные случаи
1
Если задан «почти табличный» интеграл, то есть в табличном интеграле
аргумент функции имеет вид
ax b, то делаем подстановку:
u ax b
du d ax b ax b dx a dx
1
dx du
a

9. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Примеры
u 3 x 5
19
1) 3 x 5 dx
1
du 3x 5 dx 3dx dx 3 du
20
20
1
1
1
u
u
3x 5
19
19
u du u du
C
C
C
3
3
3 20
60
60
20
u 2 x
1
2) 2
dx
sin 2 x
du 2 x dx dx dx du
1
2 du ctg u C ctg 2 x C
sin u

10. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Частные случаи
2
Если в заданном интеграле имеется некоторая функция и её
производная, то эту функцию нужно заменить на новую переменную:
u f x x f 1 u
du d f x f x dx
dx 1 du
x
f

11. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Примеры
u ln x
ln x
1
1)
dx ln x dx
1
x
x
du ln x dx x dx dx xdu
u2
ln 2 x
1
C
C
u xdu udu
2
2
x
u sin x
2) sin 4 x 3 cos xdx
du
du sin x dx cos xdx dx cos x
du
u 4 3 cos x
u 4 3 du u 4 du 3 du
cos x
u5
sin 5 x
3u C
3sin x C
5
5

12. 7.2.2 Метод интегрирования подстановкой

7.2.2 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ
Примеры
x
x
dx
3)
dx
2
4
4 x
4 x2
u x 2
x
du
du
2
2
4 u 2x
du x dx 2 xdx dx
2x
1 du
1 1
u
1
x2
arctg C arctg C
2
2 4 u
2 2
2
4
2

13. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции.
Тогда по свойству дифференциала от произведения двух функций
d u v du v u dv.
Проинтегрируем обе части равенства:
d u v du v u dv
u v v du u dv u dv u v v du
Формула интегрирования по частям
Смысл этой формулы состоит в том, что нахождение интеграла в левой
части формулы сводится к вычислению интеграла из правой части,
который либо проще исходного, либо подобен ему.

14. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
u dv u v v du
Для использования формулы интегрирования по частям будем
составлять схему:
u
u dv dv
дифференцируем
интегрируем
du u dx
u v v du
v dv
Существуют определённые типы интегралов, для которых необходимо
(или рекомендуется) применение формулы интегрирования по частям.

15. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
1 тип
x
P
x
e
dx
x
P
x
a
dx
P x sin xdx
P x cos xdx
Где Р(х) – многочлен, а > 0, а 1.
u P x
u dv dv "всё остальное"
du
v

16. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пример
u 3x 2
x
3
x
2
7
dx
x
dv 7 dx
du 3x 2 dx 3dx
x
7
v 7 x dx
ln 7
7x
7x
3x 2 7 x
3
x
3x 2
3dx
7
dx
ln 7
ln 7
ln 7
ln 7
3x 2 7 x
3x 2 7 x 3 7 x
3 7x
C
C
ln 7
ln 7 ln 7
ln 7
ln 2 7

17. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
2 тип
P x ln xdx
P x log xdx
a
P x arcsin xdx P x arctg xdx
P x arccos xdx P x arcctg xdx
Где Р(х) – многочлен, а > 0, а 1.
u "всё остальное"
u dv dv P x dx
du
v

18. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пример
1
1
u arcsin
3x
arcsin 3x dx
dv dx
1
arcsin
3x
1
9x 1
3x
2
3x 2
1
dx
du arcsin dx
2
3x
x 9x 1
v dx x
1
1 1
2
2
1 3 x
9x 1
1 2
3x 2
9x
9x2
1
1
x 9x2 1
1
dx
arcsin x x
2
3x
x 9x 1

19. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пример (продолжение)
1 1
1
dx
x arcsin
x arcsin ln 3 x 9 x 2 1 C
3x 3
3x
9x2 1
dx
9x 1
2
u 3 x
dx
du
2
3x 1 du 3x dx 3dx dx 3
1
du 1
du
ln u u 2 1 C
3
3 u2 1
u2 1 3
1
1
ln 3 x 9 x 2 1 C
3

20. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
3 тип (циклические интегралы)
e sin xdx
e cos xdx
a sin xdx
a cos xdx
x
x
x
x
sin ln x dx
cos ln x dx
x b dx
b x dx
Где а > 0, а 1, b – действительное число.
2
2
2
2
и т. д.

21. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пример
u cos x
x
e cos xdx dv e x dx
du cos x dx sin xdx
v e x dx e x
e x cos x e x sin xdx e x cos x e x sin xdx
u sin x
x
dv e dx
du sin x dx cos xdx
x
x
v e dx e
e x cos x e x sin x e x cos xdx
Обозначим интеграл за Х и получим уравнение:
X e x cos x e x sin x X

22. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пример (продолжение)
X e x cos x e x sin x X
2 X e x cos x e x sin x
1 x
X e cos x e x sin x
2
ex
X cos x sin x
2
Вернёмся к интегралу:
ex
e cos xdx 2 cos x sin x C
x

23. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Замечания
1) Если требуется, то формулой интегрирования по частям
можно пользоваться последовательно несколько раз.
2) Существуют интегралы, которые не подходят ни к одному из
трёх типов, но могут быть вычислены с использованием
формулы интегрирования по частям.

24. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Примеры
du 2 x 2 7 dx 4 xdx
v sin xdx cos x
u 2 x 7
1) 2 x 7 sin xdx
dv sin xdx
2
2
2 x 2 7 cos x cos x 4 xdx 2 x 2 7 cos x 4 x cos xdx
u x
dv cos xdx
v cos xdx sin x
du x dx dx
2 x 2 7 cos x 4 x sin x sin xdx
2 x 2 7 cos x 4 x sin x 4 cos x C
2 x 2 7 cos x 4 x sin x 4cos x C

25. 7.2.3 Метод интегрирования по частям

7.2.3 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Примеры
du x dx dx
u x
x sin x
2)
dx
sin
x
1
3
sin x
cos x
v
dx
dx
3
2
dv
3
cos x
2cos x
cos x
u cos x
sin x
dx
cos3 x du cos x dx sin xdx dx du
sin x
2
1
1
sin x du
u
du
3
3
3 u du
2
2cos 2 x
u
sin x
2 2u
u
x
1
x
tg x
dx
C
2
2
2
2cos x
2cos x
2cos x
2

26. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...