Лекция_13_формулы_26.11.2024

1. Лекция №13 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №13
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНТ, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
26.11.2024

2. Содержание

• Решение уравнений специального вида
• Метод модифицированной матричной прогонки.
• Метод нечётно-чётного исключения (метод полной
редукции.

3. Решение уравнений специального вида

u 2u
k1 x 2 f x, y
x y
x
x a,b ,
u x a 1 y ,
u y c 3 x ,
y c, d ,
- k1
0 c1 k1 x c2 ,
u
2 u x b 2 y ,
x x b
u y d 4 x

4. Сетка и шаблон

5. Разностная схема

i 1,..., N x 1; j 1,..., N y 1;
vi 1, j vi , j
vi , j vi 1, j
vi , j 1 vi , j
vi , j vi , j 1
hy k1 xi 1 / 2
hy k1 xi 1 / 2
hx
hx
hx hy f ij
h
h
h
h
x
x
y
y
i 0; j 1,..., N y 1;
vi , j 1 y j
i N x ; j 1,..., N y 1;
v v
v
h v
h v v h
hy 2vi , j 2 y j hy k1 xi 1 / 2 i , j i 1, j x i , j 1 i , j x i , j i , j 1 x hy f ij
hx
2
hy
2
hy
2
j 0; i 1,..., N x 1;
vi , j 3 xi
j N y ; i 1,..., N x 1;
vi , j 4 xi

6. Решение уравнений специального вида

i 1,..., N x 1; j 1,..., N y 1;
v v
v v
hy2 k1 xi 1/ 2 i 1, j 2 i , j hy2 k1 xi 1/ 2 i , j 2 i 1, j vi , j 1 2vi , j vi , j 1 hy2 f ij
hx
hx
i 0; j 1,..., N y 1;
i N x ; j 1,..., N y 1;
vi , j 1 y j
v v
2hy2 2vi , j 2 y j 2hy2k1 xi 1 / 2 i , j 2 i 1, j vi , j 1 2vi , j vi , j 1 hy2 fij
hx
j 0; i 1,..., N x 1;
vi , j 3 xi
j N y ; i 1,..., N x 1;
vi , j 3 xi

7. Решение уравнений специального вида

j 0,1,..., N y ;
i 0,1,..., N x ;
m jL i 1,
L Nx 1
vi , j 1 wm L
vi 1, j wm 1
vi , j wm
vi 1, j wm 1
vi , j 1 wm L

8. Решение уравнений специального вида

j 1,..., N y 1;
i 1,..., N x 1;
m jL i 1,
w w
w w
hy2 k1 xi 1/ 2 m 1 2 m hy2 k1 xi 1/ 2 m 2 m 1 wm L 2wm vm L hy2 f m
hx
hx
am wm L bm wm 1 cm wm d m wm 1 em wm L g m ,
am 1,
hy2
k1 xi 1 / 2
hx2
hy2
hy2
cm 2 2 k1 xi 1 / 2 2 k1 xi 1 / 2
hx
hx
bm
dm
hy2
hx2
k1 xi 1 / 2
em 1
gm hy2 f m

9. Решение уравнений специального вида

i 0; j 1,..., N y 1;
wm 1 y j
cm wm g m ,
am 0,
bm 0
cm 1
dm 0
em 0
g m 1 y j
m jL i 1,

10. Решение уравнений специального вида

i N x ; j 1,..., N y 1;
w w
2hy2 2 wm 2 y j 2hy2 k1 xi 1/ 2 m 2 m 1 wm L 2wm wm L hy2 f m
hx
2hy2
wm L 2 k1 xi 1 / 2 wm 1 2 k1 xi 1 / 2 2 2hy2 2 wm wm L hy2 f ij 2hy2 2 y j
hx
hx
2hy2
am 1,
bm
2hy2
hx2
cm 2
hy2
2
x
h
k1 xi 1 / 2
k1 xi 1 / 2 2hy2 2
dm 0
em 1
g m hy2 f m 2hy2 2 y j

11. Решение уравнений специального вида

m jL i 1,
j 0; i 1,..., N x 1;
wm 3 xi
cm wm g m ,
am 0,
bm 0
cm 1
dm 0
em 0
g m 3 xi

12. Решение уравнений специального вида

j N y ; i 1,..., N x 1;
wm 4 xi
cm wm g m ,
am 0,
bm 0
cm 1
dm 0
em 0
g m 4 xi
m jL i 1,

13. Решение уравнений специального вида

Aw g
1
2
3
4
5
6
7
8
*
*
*
*
*
9
10
11
12
13
14
A R N N ,
w, g R N , N ( N x 1)( N y 1)
15
18
16
17
19
20
21
22
23
24
25
1
1
1
1
1
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
1
1
1
1

14. Решение уравнений специального вида

7
8
9
10
12
13
14
15
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
j 1,2,..., N y 1;
i 1,2,..., N x ;
m j 1 L i,
L Nx

15. Метод модифицированной матричной прогонки

Vj
Fj ,
V j 1 CV j V j 1 Fj ,
Fj ,
Vj
* *
* * *
. .
C
.
.
.
.
.
,
. .
* * *
* *
C RN x N x ,
E
E
A
C
E
.
.
.
E
C
.
E
.
.
E
C
,
E
E
j 1,2, , N y 1
j Ny
v1, j
v2, j
.
V j .
,
.
vN x 1, j
vN x , j
A RN N ,
AV F ,
j 0
Vj RN x ,
f1, j
f 2, j
.
F j .
,
.
f N x 1, j
f N x , j
N N x N y 1 , V , F R N
V
0
V1
.
V V j ,
.
VN y 1
V
Ny
F1
F1
.
F F j ,
.
F
N
1
y
F
Ny
Fj R N x ,

16. Метод модифицированной матричной прогонки

C jV j B jV j 1
Fj ,
A jV j 1 C jV j B jV j 1 F j ,
Fj ,
A jV j 1 C jV j
1 C0 1B0 ,
j N y 1, N y 2,...,1,0,
1 F0 ,
j Ny
1 C0 1F0 ,
VN y AN y N y CN y
1 0,
j 1,2, , N y 1
j 1 Aj j C j 1 B j ,
j 1,2,...., N y 1
C0 E, B0 0,
j 0
j 1 Aj j C j 1 Fj Aj j ,
F A ,
1
Ny
Ny
V j j 1V j 1 j 1 ,
CN y E, AN y 0,
j 1,2,...., N y 1
VN y FN y ,
Ny
j RN N ,
x
j RN ,
Aj E ,
B j E,
j 1,2,...., N y 1
x
C j C,
j 1 C j 1 ,
x
j 1 C j 1 Fj j ,
j N y 1, N y 2,...,2,1
V j j 1V j 1 j 1 ,

17. Метод модифицированной матричной прогонки

2 C 1 1 C 1
3 C C 1 C 1 C 2 E C C 2 E
1
1
4 C C C 2 E
P0 C E,
P1 C C,
j 1 C j 1 ,
1
C E C 2C
1 1
2
1
3
j 1 Pj 1 C Pj 1 C , j 1,2,..., N y 1
Pj 1 C Pj 1 C C Pj 2 C Pj 11 C ,
1
,
Pj 1 C Pj 1 C Pj 11 C Pj 1 C C Pj 2 C
j 2,...., N y 1
P C ,
Pj 1 C Pj 1 C Pj 1 C C Pj 2 C
j 1
P0 C E,
P2 C CP1 C P0 C C 2 E
Pj 1 C Pj 1 C C Pj 2 C ,
1
Pj C CPj 1 C Pj 2 C ,
1
1
P1 C C,
j 2,3,..., N y 1
P3 C C C 2 E C C 3 2C

18. Метод модифицированной матричной прогонки

j 1 Pj 1 C Pj 1 C , j 1,2,..., N y 1
j 1 Pj 1 C P C akj C kj E 1, j 1,2,..., N y 1
1
j
j
k 1
j 1, a11 1, 11 0, 2 C 1
j 2, a12
1
1
1
1
1
1
1
, 12 1, a22 , 22 1, 3 C E C E C C 2 E
2
2
2
2
k
j 1
,
j 1
2 sin 2
akj
kj 2 cos
k
,
j 1

19. Метод модифицированной матричной прогонки

j 1 C j Fj j j 1 Fj j akj C kj E Fj j pkj ,
j
1
1
k 1
k 1
akj C kj E Fj j pkj
1
C E p a F
kj
kj
kj
j
j
j 1,2,...., N y 1,
k 1,2,...., j ,
C E p a F
kj
kj
kj
j
j 1 pkj ,
k 1
j
j
j

20. Метод модифицированной матричной прогонки

V j j 1V j 1 j 1 ,
j N y 1, N y 2,...,2,1
V j akj C kj E V j 1 j 1 ,
j
1
k 1
j N y 1, N y 2,...,2,1
j
V j j 1 pkj ,
k 1
akj C kj E V j 1 pkj
1
C E p a V
kj
kj
kj
j 1

21. Метод полной редукции

V F ,
0
0
V j 1 CV j V j 1 F j ,
VN y FN y ,
С R N x 1 N x 1 ,
C 0 C ,
j 1,2, , N y 1
F , V j R N x 1 ,
Fj 0 Fj ,
V0 F0 ,
0
0
V j 1 C V j V j 1 F j ,
VN y FN y ,
j 1,2,..., N y 1
j 1,2, , N y 1
N y 2n

22. Метод полной редукции

V j 2 C 0 V j 1
Fj 01 ,
Vj
V j 1 C 0 V j
V j 1
Fj 0 ,
j 2, 4,6,..., N y 2
V j C 0 V j 1 V j Fj 01
Ny
2
V j 2 C 1 V j
1
Fj 1 ,
V j 2
j 2, 4,6,..., N y 2
C 1 C 0 2 E
2
Fj 1 Fj 01 C 0 Fj 0 Fj 01 ,
C 0 V j Fj 0 V j 1 V j 1,
j 2, 4,6,..., N y 2
j 1, 3,5,..., N y 1

23. Метод полной редукции

V j 4 C 1 V j 2
Fj 1 2 ,
Vj
V j 2 C 1 V j
Fj 1 ,
Vj 2
j 4, 8,12,..., N y 4
V j C 1 V j 4 V j Fj 1 2
Ny
4
V j 4 C 2 V j
1
Fj 2 ,
V j 4
j 4, 8,12,..., N y 4
C 2 C 1 2E
2
Fj 2 Fj 1 2 C 1 Fj 1 Fj 1 2 ,
j 4, 8,12,..., N y 4

24. Метод полной редукции. Прямой ход.

k 1,2,..., n 1
V j 2k C k V j
F j k ,
V j 2k
j 2 k , 2 2 k , 3 2k ,... , N y 2 k
VN y FN y ,
V0 F0 ,
C k C k 1 2 E
2
Fj k Fj k 2 k1 1 C k 1 Fj k 1 Fj k 2 k1 1 ,
j 2k , 2 2k ,3 2k ,..., N y 2k
k n 1
n 1
n 1
j 2 , Ny 2
n 1
Ny 2
n 1
2 2
V0 C n 1 V j VN y Fj n 1 ,
n
n 1
2
2 1 2
n 1
j 2
n 1
C n 1 V j Fj n 1 V0 VN y ,
Ny
2

25. Метод полной редукции. Прямой ход.

26. Метод полной редукции. Обратный ход.

k n, n 1,...,1
C k 1 V j F j k 1 V j 2k 1 V j 2k 1 ,
j 2k 1 , 3 2k 1 , 5 2k 1... , N y 2k 1