Компьютерное моделирование динамических процессов в гетерогенных сплошных средах

1. Компьютерное моделирование динамических процессов в гетерогенных сплошных средах.

Член-корреспондент РАН
Петров И.Б.

2. Предметные области.

Медицина
Сейсмология
Сейсмостойкость
Оборонные и Антитеррористические
задачи

3. Определяющая система уравнений

t v σ
т
t σ v I v v
т
плотность материала, v скорость, σ симметричный тензор
напряжений Коши, , параметры Ляме,
определяющие свойства упругого материала.
гиперболическая. Собственные значения:
2
2
ci
,
,
,
,
,
,0,0,0
u ( x , y , z , xx , yy , zz , xy , xz , yz )
Используемые реологии: линейно-упругая, вязкоупругая,
упругопластическая, вязко-упругопластическая, повреждаемая.

4. Определяющая система уравнений

) H 2 (σ11 - σ 33 ) σ12 2 H 1
υ2
1 (σ - σ
1 H 3
f1 F1 11 22
ρ H 1H 2
x1
H 1H 3
H 2 H1 x2
H 3 x2 H 1H 2
u
u
u
A1
A2
f.
t
x1
x2
A1
1
H1
H
1 υ H 2
υ1
2 x
x
2
1
,
2 H
- σ 33 ) H 3 (σ
H 3
-σ ) σ
υ1
H 2
H1
1 (σ
2 1
f 2 F2 22
22 11 12
υ1
υ2
,
ρ H2 H3
x2
H 2 H1
H 1 H 2 x1
H 3 x1 H 2 H 1
x1
x2
qij11υ2 H
(q
qij21 ) H
2 ij12
1 υ H 2
υ1
2 x
x
H1H 2 x2
2H1H 2
2
1
υ H 3 υ H 3 δij γQ
2
,
1
H x
H 2 x2
ρc
1
1
H
σ
H 3
σ 22
υ2 H 3
1 σ11υ2 H1
1 υ H 2 σ 22υ1 H 2 33 υ1
,
fT
υ1
Q
2 x H H x
H x
ρc H 1H 2 x2
H 1H 2
x2
H
H
x
1
1 2
1
3 1
1
2
2
fij
q
qij22υ2 H
2 ij33
H H
H3
1 2 x1
υ1
0
1 / ρ
0
0
0
0
υ2
0
0
1 / ρ
0
0
0
0
q1111
υ1
(q1112 q1121 ) / 2
0
υ1
1 / ρ
0
0
0
0
0
0
0
0
(q1112 q1121 ) / 2
υ2
q1122
0
υ2
0
0
1 / ρ
0
0
0
0
0
q1211
q2211
q3311
(q1212 q1221 ) / 2
(q2211 q2221 ) / 2
(q3312 q3321 ) / 2
0
0
0
υ1
0
0
0
υ1
0
0
0
υ1
0
0
0
0
0
0
υ2
0
0
0
υ2
0
0
0
υ2
0
0
0
σ11/ ρc
σ11/ ρc
0
0
0
0
υ1
0
0
0
0
υv2
A2
1
(q1212 q1221 ) / 2
q1222
H2
(q2212 q2221 ) / 2
q2222
q3311
(q3312 q3321 ) / 2
qijkl λδij δkl μ(δik δ jl δ jk δil )
σ12 / ρc
IμSij Skl
k
2
σ 22 / ρc
,

5. Определяющая система уравнений

t t, x1 (t, η1 , η2 ) η1 c1 (t, η1 , η2 )dt
0
t
x 2 (t, η1 , η2 ) η1 c1 (t, η1 , η2 )dt , x 3 3
1
B
(c1 x1 1 c1 x2 2 )
(c1 x2 1 c2 x1 1 )
tt
t x1
x1 2 1t
1x
2t
2 x
0
x2 2
0
x2 1
x 1
1
1 DetB -1 1x1 2x1 1x2 2x1 1 / ,
Ak ki E kx1 A1 kx2 A2 ,
ut A1u 1 A2u 2 f ,
a ij1 1~t
a ij2 1~t
1 x1 v 1
H1
2 x1 v 1
H1
a 1x1 a 1x2 a
1
ij
1
ij
2
ij
1 x2 v 2
H2
2 x2 v 2
H2
k 1,2,
v
v
1 c 1 x 2 1 2 c 2 x 1 2 1 v~1 ,
H 1
H2
v
v
2 c 2 x 1 1 1 c 1 x 2 1 1 v~2 ,
H 2
H1
x2 1 aij1 x1 1 aij2
a 2 x1 a 2 x2 a
2
ij
1
ij
2
ij
x1 1 aij2 x2 1 aij1
t x2
.
1
1x ,
1
2 x
2

6. Сеточно-характеристический метод

Расщепление по координатам
Шаг 1
Шаг 2
2D
Гиперболические уравнения ( t)
u n+1 = u n τ(A1 Δ1 + A2 Δ2 A3 Δ3 )u n
u n+1 = u n τ(A1 Δ1 + A2 Δ2 )u n
- трехмерный случай

7.

Граничные и контактные условия
Контактные границы
Внешняя граница
Внешняя сила
Tp f
Условие слипания
va vb V , a b
Скорость на поверхности Условие скольжения
v V
va p vb p, pa pb , a b 0

8. Расчетная сетка

Тетраэдральная сетка
Сетки с меняющейся триангуляцией

9. Расчетная сетка

Тетраэдральная сетка

10. Тестовые расчёты (одномерная задача)

11. Метод частиц: построение метода

Модель среды
d
u
0
dt
x
du 1
0
dt x
de 1
dt
Идеология сглаженных частиц
a x a x x x dx
R
a x a x x x, h dx
R
dS
1
2 S R S R S S S
dt
3
n
K
P P ( ) 1
n 0
1 * 0
ij
2K 2
ij
S S
ij ij
2
S kl S kl
S S 2K
S
K 2
a x
i
a x
x
mi ai
i
xi x, h
mi ai xi x, h
i
x
i
11

12. Метод частиц: монотонизация

Оригинальный метод
Монотонный метод
d i
ik
mk uk ui
dt
xi
k
d i
ik
*
2 mk uik
ui
dt
xi
k
dui
mk i 2 k 2 ik
dt
k xi
k
i
i * ik
dui
mk
dt
k
i k xi
dei
mk ui uk i 2 k 2 ik
dt
k xi
k
i
*
dei
mk uik * uk ik ik
dt
k
i k xi
dSi
1
2 i i Si Ri Si Ri
dt
3
dSi
1
2 i i Si Ri Si Ri
dt
3
i
Ri
1 mk
ik
ik
u
u
u
u
k
i
k
i
2 k k
xi
xi
i
1 mk
ik
ik
u
u
u
u
k
i
k
i
2 k k
xi
xi
Ri
k
k
mk * ik
ik
uik * ui
uik ui
k
xi
xi
mk * ik
ik
uik * ui
uik ui
k
xi
xi
12

13.

Численное моделирование в медицине.
Удаление катаракты.
Модель поражения черепа.

14. Черепно-мозговая травма.

Саггитальное сечение
10 м/с импульс
Череп (упругий)
Мозг (вязкоупругий)
10 м/с импульс
Поперечное сечение

15. Модель с мембраной

Свойства материалов:
Кость и мембрана:
модуль Юнга E = 1.62·1010 Н/м2
коэффициент Пуассона n = 0.16
Мозг:
модуль Юнга E = 3.5·104 Н/м2
V0 = 1м/с
коэффициент Пуассона n = 0.45
Желудочки:
модуль Юнга E ~ 0
коэффициент Пуассона n ~ 0.5
Реология:
Однородный изотропный линейно-упругий
материал
Контактные условия на границе череп-мозг:
Свободное скольжение

16. Модель поражения черепа

+104 (Сжатие)
0
-104 (Растяжение)

17. Сравнение с клиническими данными

18. Операция по удалению катаракты

Хирургические
Мускул
Склера
инструменты:
Лазерная игла
(источник тепла)
Ультразвуковая игла
Хрусталик
(источник
напряжения)
Передняя
камера
Стекловидное
тело

19.

Лазерная и ультразвуковая операции

20.

21.

22.

Задача литотрипсии

23.

Моделирование работы сердечной
мышцы.
Нормальная скорость,
как функция времени
Мускул
Кровь

24. Моделирование работы сердечной мышцы.

25.

Численное моделирование в геологии

26. Численное моделирование в геологии

Трещины и пустоты.

27. Трещины и пустоты.

Взрыв рядом с поверхностью.
продольные волны
поперечные волны
Волна Релея

28. Взрыв рядом с поверхностью.

Флюидонасыщенная и газонасыщенная
трещины

29. Флюидонасыщенная и газонасыщенная трещины

Коридор флюидонасыщенных вертикальных трещин

30. Коридор флюидонасыщенных вертикальных трещин

Коридоры флюидонасыщенных вертикальных
трещин
0,5
расстояние между трещинами / длина трещин
1,0
2,0
3,0
1,5
4,0

31. Коридоры флюидонасыщенных вертикальных трещин

Двухслойная геологическая среда

32. Двухслойная геологическая среда

Многослойная геологическая среда

33. Многослойная геологическая среда

Флюидонасыщенная полость.
Отраженная
продольная
волна
Прошедшая волна
Отраженная
волна

34. Флюидонасыщенная полость.

Обратные задачи: положение
трещины
Задача: определить положение заполненной флюидом
трещины, расположенной в земной коре
Приёмник Vy(t)
10 метров
100 метров
Входные параметры: протяжённость трещины, упругие
свойства вмещающего массива
Vy(0)= 0,01 м/с
Cp=3 км/с
Cs=1,7 км/c
ρ=2,5 т/м3
α=30°
h=0 - 1 км

35. Обратные задачи: положение трещины

Математическая формулировка:
I z Vy z, xi , t j Vy xi , t j
i
j
2
min I z
z D h1; h2 1; 2
Зависимость значения функционала от глубины залегания
трещины
Трещина под углом 30
Значение функционала
2.5E-05
градусов к горизонту
2.0E-05
1.5E-05
1.0E-05
5.0E-06
0.0E+00
350
450
550
650
750
Глубина залегания, м
850
950

36. Обратные задачи: положение трещины

Численное моделирование
последствий природных и
техногенных катастроф.

37.

Возмущение из очага землетрясения: 3D

38.

Волновые фронты вблизи дневной поверхности

39.

Модель АЭС: двумерная постановка
Многокомпонентная
модель (Cp, Cs, ρ)
Возмущени
е:
P-wave
Рис. – Модуль скорости

40. Модель АЭС: двумерная постановка

Сейсмостойкость здания: трехмерная
постановка
Расчёт напряжений и скоростей в узлах сетки
Многокомпонентная
модель (Cp, Cs, ρ)
Возмущени
е:
P-wave
Рис. – Модуль скорости (слева) и места разрушения
(справа)

41. Сейсмостойкость здания: трехмерная постановка

Сейсмическое воздействие на
плотину
вода
плотина
земля
Изоповерхности модуля скорости

42. Сейсмическое воздействие на плотину

Волны Лява и волны Рэлея
Лява
Рэлея

43. Волны Лява и волны Рэлея

Сравнение сейсмограмм землетрясения и взрыва

44.

Задача о соударении с перфорированной
конструкцией

45. Задача о соударении с перфорированной конструкцией

46.

Задачи высокоскоростного соударения

47. Задачи высокоскоростного соударения

48.

Задача о соударении с многослойной преградой

49. Задача о соударении с многослойной преградой

50.

51.

52.

53.

54.

Численное моделирование
соударений сложных
конструкций.

55.

Падение самолета на оболочку АЭС

56. Падение самолета на оболочку АЭС

Результаты численного эксперимента: соударение микрометеорита
с двухслойной полусферической оболочкой и разнесенными
преградами

57.

Результаты численного эксперимента: соударение микрометеорита
с 10 разнесенными преградами

58.

Постановка задач
Задача о наклонной посадке движущегося
подводного объекта на дно
Задача о соударении самолета с
деформируемой преградой и с движущимся
подводным объектом
Задача о соударении движущегося
подводного объекта с жесткой преградой
Задача о лобовом и перпендикулярном
столкновении движущихся подводных
объектов
Задача о соударении снаряда с
движущимся подводным объектом
Задача о соударении с
перфорированной конструкцией

59.

Задача о наклонной посадке движущегося
подводного объекта на дно

60. Задача о наклонной посадке движущегося подводного объекта на дно

Задача о соударении самолета с деформируемой
преградой.
Параметры фюзеляжа:
Длина: 15м
Внеш. радиус: 2м
Толщина стенок: 0.5м
λ = 80,3 ГПа
μ = 25,4 ГПа
ρ = 2740 кг/ м3
Е = 70 ГПа
Параметры преграды:
Толщина: 1м
Длина: 30м
λ = 80,3 ГПа
μ = 25,4 ГПа
ρ = 2740 кг/ м3
Е = 70 ГПа
Параметры двигателей:
Радиус: 2м
λ = 115,4 ГПа
μ = 77 ГПа
ρ = 7800 кг/ м3
Е = 200 ГПа

61. Задача о соударении самолета с деформируемой преградой.

Задача о соударении самолета с деформируемой
преградой

62. Задача о соударении самолета с деформируемой преградой

Численное решение задач
динамического контакта.

63.

Разбиение основной задачи
Прогрев, воспламенение и горение пороха
Движение пороховых газов в
заснарядном объеме
Функционирование
дульных устройств
Движение снаряда по
каналу ствола
Гидрогазодинамика и
тепловое состояние
противооткатных устройств
Тепловое состояние ствола и
расчет устройств охлаждения
ствола
Задачи прочности и
динамики всех элементов
системы

64.

Расчётная сетка

65. Расчётная сетка

66.

Цилиндр с хромированной
внутренней поверхностью
Значения максимального главного напряжения. Изолинии демонстрируют
распространение волн вдоль поверхности цилиндра. Начало движения.

67. Цилиндр с хромированной внутренней поверхностью

Прочность трубопроводов
Давление в трубе
вызывает деформации
и раскрытие трещины
Область коррозии трубы

68. Прочность трубопроводов

Воздействие пучка электронов на алюминиевую пластинку

69. Воздействие пучка электронов на алюминиевую пластинку

70.

71.

Спасибо за внимание!