Лекция_11_формулы_12.11.2024

1. Лекция №11 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №11
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНK, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
12.11.2024

2. Содержание

Невязка и порядок погрешности аппроксимации
уравнения.
Главный член погрешности аппроксимации
уравнения.
Невязка и порядок погрешность аппроксимации
граничных условий второго и третьего рода.
Главный член погрешности аппроксимации
граничных условий.
Невязка и порядок погрешности аппроксимации
условия ограниченности.
Главный член погрешности аппроксимации условия
ограниченности.

3. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

u
u
k1 x, y k2 x, y q x, y u f x, y
x y
y
x
x a, b , y c, d
0 C11 k1 C12 , 0 C21 k2 C22 ,
N x число разбиений интервала a, b
xi a ihx , i 0,1,..., N x ;
hi xi xi 1 hx ,
xi 1 / 2
b a
hx
,
Nx
i 1,2,..., N x ,
xi xi 1
1
a i hx ,
2
2
hx
i 0
2,
i hx , i 1,2,..., N x 1
h
x,
i Nx
2
i 1,2,..., N x
N y число разбиений интервала c, d
y j a jhy ,
j 0,1,..., N y ;
hy
d c
,
Ny
h j y j y j 1 hy , j 1,2,..., N y
y j 1 / 2
y j y j 1
2
1
c j hy ,
2
j 1,2,..., N y
hy
j 0
,
2
j hy , j 1,2,..., N y 1
hy ,
j Ny
2

4. Невязка и порядок погрешность аппроксимации уравнения

v
v
v v
j k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j i , j j k1 xi 1 / 2 , y j i , j i 1, j
hi 1
hi
i k2 xi , y j 1 / 2
vi , j 1 vi , j
h j 1
i k2 xi , y j 1 / 2
i 1,..., N x 1;
vi , j vi , j 1
hj
i j qi , j vi , j i j fi , j
j 1,..., N y 1;
v
v
v v
hy k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j i , j hy k1 xi 1 / 2 , y j i , j i 1, j
hx
hx
hx k2 xi , y j 1 / 2
vi , j 1 vi , j
hy
hx k2 xi , y j 1 / 2
i , j hx hy f i , j hy k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j
u
ui , j
hx
vi , j vi , j 1
hy
hx hy qijvij hx hy fij
u u
hy k1 xi 1 / 2 , y j i , j i 1, j
hx
u u
u u
hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1 hx hy qi , j ui , j
hy
hy

5. Невязка и порядок погрешность аппроксимации уравнения

ui , j
2
3
4
hx2 ui , j hx3 ui , j hx4 ui , j
ui 1, j u xi hx , y j ui , j hx
O hx5
2
3
4
x
2 x
6 x
24 x
ui 1, j ui , j
hx
ui , j
2
3
4
hx ui , j hx2 ui , j hx3 ui , j
O hx4
2
3
4
x
2 x
6 x
24 x
hx
hx k1,i , j hx2 k1,i , j hx3 k1,i , j
4
k1,i 1/ 2, j k1 xi , y j k1,i , j
O
h
x
2
2 x
8 x 2
48 x 3
2
k1,i 1 / 2, j
ui 1, j ui , j
hx
1 2u 1 k1 u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
u
2 1
k1 hx k1 2
hx k1 3
2
2
2 x x i , j
4 x x
8 x x i , j
x i , j
2 x
6 x
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
h k1 4
O hx4
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
3
x
3

6. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

ui , j
2
3
4
hx2 ui , j hx3 ui , j hx4 ui , j
5
ui 1, j u xi hx , y j ui , j hx
O
h
x
x
2 x 2
6 x 3
24 x 4
ui , j ui 1, j
hx
ui , j
2
3
4
hx ui , j hx2 ui , j hx3 ui , j
4
O
h
x
x
2 x 2
6 x 3
24 x 4
hx
hx k1,i , j hx2 k1,i , j hx3 k1,i , j
4
k1,i 1/ 2, j k1 xi , y j k1,i , j
O
h
x
2
2 x
8 x 2
48 x 3
2
k1,i 1 / 2, j
ui , j ui 1, j
hx
1 2u 1 k1 u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
u
2 1
k1 hx k1 2
hx 6 k1 x3 4 x x 2 8 x 2 x
2
x
2
x
x
x i , j
i, j
i, j
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
h k1 4
O hx4
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
3
x
3

7. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

u u
u u
hy k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j i , j hy k1 xi 1 / 2 , y j i , j i 1, j
hx
hx
u
1 2u 1 k1 u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
2 1
k
h
k
h
k
1
x
1
x
1
2
3
2
2
x
2
x
2
x
x
6
x
4
x
x
8
x
x
i
,
j
i, j
i, j
4
3
2
2
3
1
u
1
k
u
1
k
u
1
k
u
3
1
1
1
h
k1 4
x
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
hy
2
3
2
2
u
1 u 1 k1 u
u 1 k1 u 1 k1 u
2 1
k
h
k
h
k
1
x
1
x
1
2
3
2
2
x
2
x
2
x
x
6
x
4
x
x
8
x
x
i
,
j
i, j
i, j
4
3
2
2
3
1
u
1
k
u
1
k
u
1
k
u
3
4
1
1
1
h
k1 4
O hx
x
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x

8. Невязка и погрешность аппроксимации уравнения

hy k1 xi 1 / 2 , y j
ui 1, j ui , j
hx
hy k1 xi 1 / 2 , y j
ui , j ui 1, j
hx
2u k u
4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
3 1
4
1
hx k1 4
O hx
hy hx k1 2
3
2
2
3
x x i , j
6 x x 8 x x
24 x x i , j
x
12 x
2u k1 u u
k1 2
k1
x
x x x x
u ui , j
u ui 1, j
hy k1 xi 1/ 2 , y j i 1, j
hy k1 xi 1/ 2 , y j i , j
hx
hx
u
4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
3 1
4
O hx
hy hx k1 hx k1 4
3
2
2
3
x
x
12
x
6
x
x
8
x
x
24
x
x
i , j
i , j

9. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

ui , j 1 u xi , y j hy ui , j hy
ui , j 1 ui , j
hy
ui , j
y
ui , j
y
hy 2ui , j
2 y 2
hy2 2ui , j
2 y
2
hy3 3ui , j
6 y
3
hy2 3ui , j
hy3 4ui , j
6 y
24 y 4
3
hy4 4ui , j
24 y
4
O hy5
O h4
hy
hy k2,i , j hy2 2 k2,i , j hy3 3k2,i , j
4
k2,i , j 1/ 2 k2 xi , y j k2,i , j
O
h
y
2
2 y
8 y 2
48 y 3
k 2,i , j 1/ 2
ui , j 1 ui , j
hy
1 2u 1 k 2 u
u
3u 1 k 2 2u 1 2 k 2 u
2 1
k 2 hy k 2 2
hy 6 k 2 y 3 4 y y 2 8 y 2 y
y
2
y
2
y
y
i, j
i, j
i, j
1
4u 1 k2 3u 1 2 k 2 2u 1 3k2 u
h k2 4
O hy4
3
2
2
3
48 y y i , j
24 y 12 y y 16 y y
3
y

10. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

ui , j 1 u xi , y j hy ui , j hy
ui , j ui , j 1
hy
ui , j
y
ui , j
y
hy 2ui , j
2 y
2
hy2 2ui , j
2 y
hy2 3ui , j
6 y
3
2
hy3 3ui , j
6 y
3
hy3 4ui , j
24 y
4
hy4 4ui , j
24 y
4
O hy5
O hy4
hy
hy k2,i , j hy2 2 k2,i , j hy3 3k2,i , j
k2,i , j 1/ 2 k2 xi , y j k2,i , j
O hy4
2
3
2
2 y
8 y
48 y
k2,i , j 1 / 2
ui , j ui , j 1
hy
1 2u 1 k2 u
u
3u 1 k2 2u 1 2 k2 u
2 1
k2 hy k2 2
hy 6 k2 y 3 4 y y 2 8 y 2 y
y
2
y
2
y
y
i, j
i, j
i, j
1 4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
h k2 4
O hy4
3
2
2
3
48 y y i , j
24 y 12 y y 16 y y
3
y

11. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

u
u
u u
hx k 2 xi , y j 1/ 2 i , j 1 i , j hx k 2 xi , y j 1/ 2 i , j i , j 1
hy
hy
u
1 2u 1 k 2 u
3u 1 k 2 2u 1 2 k 2 u
2 1
k 2 hy k 2 2
hy 6 k 2 y 3 4 y y 2 8 y 2 y
y
2
y
2
y
y
i, j
i, j
i, j
4
3
2
2
3
1
u
1
k
u
1
k
u
1
k
u
2
2
2
h 3
k2 4
y
3
2
2
3
48 y y i , j
24 y 12 y y 16 y y
hx
2
3
2
2
u
1 u 1 k 2 u
u 1 k 2 u 1 k 2 u
2 1
k
h
k
h
k
2
y
2
y
2
2
3
2
2
y
2
y
2
y
y
6
y
4
y
y
8
y
y
i, j
i, j
i, j
4
3
2
2
3
1
u
1
k
u
1
k
u
1
k
u
3
4
2
2
2
h
k2 4
O hy
y
3
2
2
3
48 y y i , j
24 y 12 y y 16 y y

12. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

u u
u u
hx k 2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1
hy
hy
2u k u
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3k 2 u
3 1
4
2
hy k 2 4
O hy
hx hy k2 2
3
2
2
3
y
y
y
12
y
6
y
y
8
y
y
24
y
y
i , j
i , j
2u k2 u u
k2 2
k2
y
y y y y
u u
u u
hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j hx k 2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1
hy
hy
u
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3 1
4
O hy
hx hy k2 hy k2 4
3
2
2
3
6 y y 8 y y
24 y y i , j
y y i , j
12 y

13. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

i , j hx hy f i , j hy k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j
u
ui , j
hx
u ui 1, j
hy k1 xi 1 / 2 , y j i , j
hx
u
u
u ui , j 1
hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j
hx hy qi , j ui , j
hy
hy
u
4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
3 1
4
hx hy f i , j hy hx k1 hx k1 4
O
h
x
3
2
2
3
x
x
12
x
6
x
x
8
x
x
24
x
x
i , j
i , j
u
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3 1
4
O hy hx hy qi , j ui , j
hx hy k2 hy k2 4
3
2
2
3
y
y
12
y
6
y
y
8
y
y
24
y
y
i , j
i , j
i , j hx hy f i , j hy k1 xi 1/ 2 , y j i 1, j
u
ui , j
hx
u ui 1, j
hy k1 xi 1/ 2 , y j i , j
hx
u u
u ui , j 1
hx k 2 xi , y j 1/ 2 i , j 1 i , j hx k 2 xi , y j 1/ 2 i , j
hx hy qi , j ui , j
hy
hy
3 1 4u 1 k 3u 1 2 k 2u 1 3k u
u u
4
1
1
1
hx hy f k1 k 2 qu hy hx k1 4
O
h
x
3
2
2
3
x
x
y
y
12
x
6
x
x
8
x
x
24
x
x
i , j
i, j
3 1 4u 1 k 3u 1 2 k 2u 1 3 k u
4
2
2
2
O hy
hx hy k 2 4
3
2
2
3
12
y
6
y
y
8
y
y
24
y
y
i , j

14. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения

~i , j
ui , j
~i , j f i , j k1 xi 1/ 2 , y j i 1, j 2
u
hx
i , j
hx hy
u u
k1 xi 1/ 2 , y j i , j 2 i 1, j
hx
u
u
u u
k 2 xi , y j 1/ 2 i , j 1 2 i , j k 2 xi , y j 1/ 2 i , j 2 i , j 1 qi , j ui , j
hy
hy
u u
4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3 k1 u
2 1
3
qu hx k1 4
f k1 k 2
O
h
x
3
2
2
3
x
x
y
y
12
x
6
x
x
8
x
x
24
x
x
i , j
i, j
1
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3 k 2 u
O hy3
h k 2 4
3
2
2
3
6 y y
8 y y
24 y y i , j
12 y
2
y
u u
f k1 k2 qu 0
x x y y
i, j
px 2 0 2
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
x k1 4
,
12 x
6 x x 3 8 x 2 x 2 24 x 3 x
py 2 0 2
1 4u 1 k2 3u 1 2k2 2u 1 3k2 u
y k2 4
12 y
6 y y 3 8 y 2 y 2 24 y 3 y

15. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

k1
u
1u x a 1 y ,
x x a
i 0,
j 1,2,..., N y 1
v
v
j k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j i , j j 1vi , j 1 y j
hi 1
v
v
v v
i k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j i k2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1 i j qi , j vi , j i j fi , j
h j 1
hj
v
v
hy k1 xi 1 / 2 , y j i 1, j i , j hy 1vi , j 1 y j
hx
h
v
v
v v
hx
h
h
k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j x k2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1 x hy qi , j vi , j x hy fi , j
2
hy
2
hy
2
2
ui 1, j ui , j
hx
i , j hy fi , j hy k1 xi 1 / 2 , y j
hy 1ui , j 1 y j
2
hx
u
u
u ui , j 1 hx
hx
h
k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j x k2 xi , y j 1 / 2 i , j
hy qi , j ui , j
2
hy
2
hy
2

16. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

k1,i 1/ 2, j
ui 1, j ui , j
hx
hx u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
u
2 1
k1 k1 hx k1 3
2
2
4 x x
8 x x i , j
x i , j 2 x x i , j
6 x
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
h k1 4
O hx4
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
3
x
u u
u u
hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j hx k 2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1
hy
hy
u
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3 1
4
O hy
hx hy k2 hy k2 4
3
2
2
3
6 y y 8 y y
24 y y i , j
y y i , j
12 y

17. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

u
hx u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
2 1
k1 k1 hx k1 3
2
2
x
2
x
x
6
x
4
x
x
8
x
x
i, j
i, j
i, j
h
i , j x hy f i , j hy
4
3
2
2
3
2
h3 1 k u 1 k1 u 1 k1 u 1 k1 u O h 4
x
1
x
4
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
hy 1ui , j 1 y j
h
hx u
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3 1
4
x
hy k2 hy k2 4
O
h
hy qi , j ui , j
y
3
2
2
3
2 y y i , j
12
y
6
y
y
8
y
y
24
y
y
2
i , j
i , j hy k1
h
u
u u
k 2
qu
1ui , j 1 y j x hy f
k1
x
2
x x y y
i, j
i, j
2 1 3u 1 k 2u 1 2 k u
3
1
1
hy hx k1 3
O hx
2
2
6
x
4
x
x
8
x
x
i, j
hx 3 1
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u
1 3 k 2 u
4
O hy
k2
hy
2 12
y 4 6 y y 3 8 y 2 y 2 24 y 3 y i , j

18. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

~i , j
~i , j k1
i , j
hy
h
u
u u
qu
1u 1 y x f k1 k 2
x
x x y y
i, j 2
i, j
1 3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
h k1 3
O hx3
2
2
4 x x
8 x x i , j
6 x
2
x
hx 2 1
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3 k 2 u
3
hy k 2 4
O hy
2 12 y
6 y y 3 8 y 2 y 2 24 y 3 y i , j
u
k1 x 1u 1 y 0
x a
px 2 0 2
1 3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
x k1 3
6 x
4 x x 2 8 x 2 x
f
u u
k1 k2 qu 0
x x y y
p y 2 0 2,
y
1 4u 1 k2 3u 1 2k2 2u 1 3k2 u
k2
24 y 4 12 y y 3 16 y 2 y 2 48 y 3 y

19. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

- k1
u
2 u x b 2 y ,
x x b
i N x , j 1,2,..., N y 1;
v vi 1, j
j 2vi , j 2 y j j k1 xi 1 / 2 , y j i , j
h
i
v
v
v vi , j 1
i k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j i k2 xi , y j 1 / 2 i , j
i j qi , j vi , j i j fi , j
h j 1
hj
v vi 1, j
hy 2vi , j 2 y j hy k1 xi 1 / 2 , y j i , j
hx
h
v
v
v vi , j 1 hx
hx
h
k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j x k2 xi , y j 1 / 2 i , j
hy qi , j vi , j x hy f i , j
2
hy
2
hy
2
2
i , j
u ui 1, j
hx
hy fi , j hy 2ui , j 2 y j hy k1 xi 1 / 2 , y j i , j
2
hx
ui , j 1 ui , j hx
ui , j ui , j 1 hx
hx
k2 xi , y j 1 / 2
k2 xi , y j 1 / 2
hy qi , j ui , j
2
hy
2
hy
2

20. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

k1,i 1/ 2, j
ui , j ui 1, j
hx
hx u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
u
2 1
k1 k1 hx k1 3
2
2
6
x
4
x
x
8
x
x
x i , j 2 x x i , j
i, j
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
h k1 4
O hx4
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
3
x
u u
u u
hx k2 xi , y j 1 / 2 i , j 1 i , j hx k 2 xi , y j 1 / 2 i , j i , j 1
hy
hy
u
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3 1
4
O hy
hx hy k2 hy k2 4
3
2
2
3
y
y
12
y
6
y
y
8
y
y
24
y
y
i , j
i , j

21. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

i , j
hx
hy f i , j hy 2ui , j 2 y j
2
u
hx u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
2 1
k1 k1 hx k1 3
2
2
x
2
x
x
6
x
4
x
x
8
x
x
i
,
j
i
,
j
i, j
hy
4
3
2
2
3
1
u
1
k
u
1
k
u
1
k
u
1
1
1
h 3
k1 4
O hx4
x
3
2
2
3
48 x x i , j
24 x 12 x x 16 x x
h
hx u
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3k 2 u
3 1
4
hy k 2 hy k 2 4
O hy x hy qi , j ui , j
3
2
2
3
2 y y i , j
6 y y 8 y y
24 y y i , j
2
12 y
hx
u u
u
i , j hy f k1 k2 qu hy k1 2u 2 y
2
x x y y
x
i, j
i, j
2 1 3u 1 k 2u 1 2 k u
3
1
1
hy hx k1 3
O
h
x
2
2
6 x 4 x x 8 x x i , j
hx 3 1 4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
4
O hy
hy k2 4
2 12 y
6 y y 3 8 y 2 y 2 24 y 3 y i , j

22. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

~i , j
i , j
hy
hx
u u
u
i , j f k1 k2 qu k1 2u 2 y
2
x x y y
i, j
i , j x
~
1 3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
h k1 3
O hx3
2
2
6 x 4 x x 8 x x i , j
2
x
hx 2 1 4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3
O hy
hy k2 4
3
2
2
3
2 12 y
6 y y 8 y y
24 y y i , j
u u
k1 k2 qu 0
x x y y
u
k1 x 2u 2 y 0
x b
f
px 2 0 2,
py 2 0 2
1 3u 1 k1 2u 1 2k1 u
x k1 3
2
6
x
4
x
x
8 x 2 x
1 4u 1 k2 3u 1 2k2 2u 1 3k2 u
y k2 4
24 y 12 y y 3 16 y 2 y 2 48 y 3 y

23. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

k2
u
3 u y c 3 x ,
y y c
~i , j k 2
i 1,2,..., N x 1,
j 0
,
h
u
u u
k 2
qu
3u 3 x y f
k1
y
2
x x y y
i, j
i, j
1 3u 1 k 2 2u 1 2 k 2 u
h k2 3
O hy3
2
2
4 y y
8 y y i , j
6 y
2
y
hy 2 1
4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u
1 3 k1 u
3
k1
O hx
hx
2 12 x 4 6 x x 3 8 x 2 x 2 24 x 3 x i , j
u
k
u
x
2
3
3
y
0
y c
px 2 0 2,
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
x
k1
24 x 4 12 x x3 16 x 2 x 2 48 x3 x
f
u u
k1 k2 qu 0
x x y y
p y 2 0 2,
1 3u 1 k2 2u 1 2 k2 u
y k2 3
6 y 4 y y 2 8 y 2 y

24. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

- k2
u
4 u y d 4 x ,
y y d
i 1,2,..., N x 1,
j Ny
hy
u
u u
i , j k 2 4u 4 x f k1 k 2 qu
x x y y
y
i, j 2
i, j
~
1 3u 1 k 2 2u 1 2 k 2 u
3
h k2 3
O
h
y
2
2
4 y y 8 y y i , j
6 y
2
y
hy 2 1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3 k1 u
3
O hx
hx k1 4
2 12 x
6 x x 3 8 x 2 x 2 24 x 3 x i , j
u
k2 y 4u 4 x 0
y d
px 2 0 2,
1 4u 1 k1 3u 1 2 k1 2u 1 3k1 u
x k1 4
3
2
2
24 x 12 x x 16 x x
48 x3 x
f
u u
k1 k2 qu 0
x x y y
py 2 0 2
1 3u 1 k2 2u 1 2 k2 u
y k2 3
2
6
y
4
y
y
8 y 2 y

25. Невязка и порядок погрешности аппроксимации уравнения в цилиндрической системе координат

1
u
u
rk1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z
r z
z
r r
0 C11 k1 C12 , 0 C21 k2 C22 ,
u
u
rk1 r , z rk 2 r , z rq r , z u rf r , z
r z
z
r
~
k1 r , z rk1 r , z ,
~
k2 r , z rk2 r , z ,
q~ r, z rq r, z
~
f r , z rf r , z
~
~
u ~
u
k1 r , z k2 r , z q~ r , z u f r , z
r z
z
r
1
4u 1 rk1 3u 1 2 rk1 2u 1 3 rk1 u
r rk1 4
12
r
6 r r 3 8 r 2 r 2 24 r 3 r
1 4u 1 k2 3u 1 2k2 2u 1 3k2 u
z r k2 4
3
2
2
12
z
6
z
z
8
z
z
24 z 3 z

26. Невязка и порядок погрешности аппроксимации граничного условия

u
0
k1 r 1u 1 z j
r RI
u
0
rk1 r r 1u r 1 z j
r RI
~ u ~
~
0
k1 r 1u 1 z j
r RI
~
k1 r , z rk1 r , z r RI ,
~1 r 1 r, z r R ,
pr 2,
1
3u 1 rk1 2u 1 2 rk1 u
r rk1 3
,
2
2
6
r
4 r r
8 r
r
I
~1 r 1 r, z r R ,
I
pz 2,
1 4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
z r k2 4
3
2
2
24
z
12
z
z
16
z
z
48 z 3 z

27. Невязка и порядок погрешности аппроксимации условия ограниченности

u r 0 ограниченно
u
0,
r r 0
i 0,
j 1,2,..., N z 1
v
vi , j
j ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z j i 1, j
0
h
i 1
v
v
v vi , j 1
r
r
r
r
i i 1 / 2 k2 ri , z j 1 / 2 i , j 1 i , j i i 1 / 2 k2 ri , z j 1 / 2 i , j
i j i 1 / 2 qi , j vi , j i j i 1 / 2 f i , j
2
h j 1
2
hj
2
2
vi 1, j vi , j
hz ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z j
0
h
r
vi , j 1 vi , j hr ri 1 / 2
vi , j vi , j 1 hr
h
r
r
h r
r i 1 / 2 k 2 ri , z j 1 / 2
k 2 ri , z j 1 / 2
hz i 1 / 2 qi , j vi , j r hz i 1 / 2 f i , j
2 2
hz
2 2
hz
2
2
2
2
i, j
ui 1, j ui , j
hr
hz f i , j 2hz k1 ri 1 / 2 , z j
0
2
h
r
ui , j 1 ui , j hr
ui , j ui , j 1 hr
hr
k 2 ri , z j 1 / 2
k 2 ri , z j 1 / 2
hz q i , j u i , j
2
hz
2
hz
2

28. Невязка и порядок погрешности аппроксимации условия ограниченности

k1,i 1/ 2, j
ui 1, j ui , j
hr
hr u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
u
2 1
k1 k1 hr k1 3
O hr3
2
2
4 r r
8 r r i , j
r i , j 2 r r i , j
6 r
u u
u u
hr k2 ri , z j 1 / 2 i , j 1 i , j hr k2 ri , z j 1 / 2 i , j i , j 1
hz
hz
u
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
3 1
4
O hz
hr hz k2 hz k2 4
3
2
2
3
z
z
12
z
6
z
z
8
z
z
24
z
z
i , j
i , j

29. Невязка и порядок погрешности аппроксимации условия ограниченности

i, j
u
1 3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
hr
h u
3
hz f i , j 2hz k1 r k1 hr2 k1 3
O
h
0
r
2
2
2
r
2
r
r
6
r
4
r
r
8
r
r
i, j
i , j
i, j
h
hr u
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3k 2 u
3 1
4
r
O hz hz qi , j ui , j
hz k 2 hz k 2 4
3
2
2
3
2 z z i , j
12
z
6
z
z
8
z
z
24
z
z
2
i , j
2 1 3u 1 k 2u 1 2 k u
hr
u u
u
3
1
1
i , j hz f 2 k1 k 2 qu hz 2 k1 2hz hr k1 3
O hr
6 r
2
r r z z
4 r r 2 8 r 2 r i , j
r i , j
i, j
hr 3 1
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3 k 2 u
4
hz k 2 4
O
h
z
2 12 z
6 z z 3 8 z 2 z 2 24 z 3 z i , j

30. Невязка и порядок погрешности аппроксимации условия ограниченности

~i , j
~i , j
i , j
2hz
hr
u u
3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
u
2 1
3
f
2
k
k
qu
k
h
k
1
2
1
r
1
O hr
3
2
2
4
r r z z
4 r r
8 r r i , j
i , j r i , j
6 r
hr 2 1
4u 1 k 2 3u 1 2 k 2 2u 1 3 k 2 u
3
hz k 2 4
O hz
4 12 z
6 z z 3 8 z 2 z 2 24 z 3 z i , j
u
0,
r r 0
u
u
2 k1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z r 0
r z
z
r
r 0
pr 2,
1 3u 1 k1 2u 1 2 k1 u
r k1 3
,
2
2
6
r
4
r
r
8
r
r
pz 2,
1
4u 1 k2 3u 1 2 k2 2u 1 3k2 u
z k2 4
24 z z 3 32 z 2 z 2 96 z 3 z
48 z