Задаем графики функций формулой_2023

1.

Задаем графики функций
формулой
Г.И. Ковалева
доктор педагогических наук,
директор центра математического образования ГАУ ДПО «ВГАПО»,
профессор кафедры методики преподавания
математики и физики, ИКТ ФГБОУ ВО «ВГСПУ»

2. ЕГЭ: профильная математика

Можем лучше!
2022
9. На рисунке изображён график функции вида f
Найдите значение f(2).
x aх.
76,88%
2023
10. На рисунке изображены графики
функций видов f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx,
пересекающиеся в точках A и B. Найдите
абсциссу точки B.
61,84%

3. Что надо знать?

Правила преобразования графика функции у = f (x)
Геометрический смысл коэффициентов
элементарных функций
Методы задания графиков функций формулами

4. Правила преобразования графика функции у = f (x)

Функция
y f x A
Что происходит с графиком функции y f
Сдвиг вдоль оси ОУ на А единиц
x

5. Правила преобразования графика функции у = f (x)

Функция
y f x a
Что происходит с графиком функции y f
Сдвиг вдоль оси ОХ на а единиц
x

6. Правила преобразования графика функции у = f (x)

y х
2
ОХ
2
y x 2
2

7. Правила преобразования графика функции у = f (x)

y 2х
2
ОХ
4
y 2 x 4
2

8. Правила преобразования графика функции у = f (x)

y х
2
ОХ
3
y x 3
2

9. Правила преобразования графика функции у = f (x)

y х
2
ОХ
4
y x 4
2
ОУ
2
y x 4 2
2

10. Правила преобразования графика функции у = f (x)

Функция
y kf x
Что происходит с графиком функции y f
Растяжение ( k>1), сжатие ( 0<k<1)
вдоль оси ОУ относительно оси ОХ
x

11. Правила преобразования графика функции у = f (x)

Функция
y f kx
Что происходит с графиком функции y f
Сжатие (k>1), растяжение (0<k<1 )
вдоль оси ОХ относительно оси ОУ
x

12. Коэффициенты линейной функции

y kx b
tg k , где – угол прямой с положительным
направлением оси ОХ
b – ордината точки пересечения с осью ОУ

13. Коэффициенты линейной функции

y kx b
– острый
– тупой
k 0
k 0
Прямая возрастает
Прямая убывает

14. Коэффициенты линейной функции

y kx b
Если 0,
то k 0,
Функция постоянна и
y b.
равна b.
Прямая параллельна оси ОХ .

15. Коэффициенты линейной функции

Прямая пропорциональность
Если b 0,
то y kx.

16. Линейная функция

Как задать формулой?
Найти на прямой две
точки с целочисленными
координатами: (–7; 2),
(–2;4).
Подставить координаты
точек
в
уравнение
прямой у = kx + b.
Решить систему.
2 7k b,
2 5k ,
k 0, 4,
4 2k b;
4 2k b;
b 4,8.
y 0, 4 x 4,8

17. Линейная функция

Как задать формулой?
Найти на прямой две
точки с целочисленными
координатами: (–7; 2),
(–2;4).
у
у
1
2
Найти k
.
х1 х2
2 4
2
k
0, 4
7 ( 2) 5
В уравнение прямой у= 0,4х + b подставить
координаты любой точки прямой.
2 0, 4( 7) b
b 4,8

18. Линейная функция

Как задать формулой?
Найти на прямой две точки
с
целочисленными
координатами.
Выделить прямоугольный
треугольник с вершинами в
данных точках.
у 2
k
х 5
В уравнение прямой у= 0,4х + b
подставить
координаты любой точки прямой и
найти b.
Определить знак углового
коэффициента.
Найти значение углового
коэффициента
как
отношение вертикального
катета к горизонтальному.

19. Линейная функция

Как задать формулой?
2
k
3
b 4
2
y x 4
3

20. Линейная функция

Как задать формулой?
k 2
b 4
y 2 x 4

21. Проверь себя

Задайте формулой график линейной функции

22. Проверь себя

Задайте формулой график линейной функции
1
y x 3
2
y 2x 4

23. Задачи ЕГЭ

Найдите ординату точки пересечения
графиков линейных функций

24. Задачи ЕГЭ

Найдите ординату точки пересечения
графиков линейных функций
y 4 x b
b ?
Подставить в формулу y 4 x b
координаты контрольной точки :
например, 2; 2 .
y 4 x 10
2 8 b
b 10

25. Задачи ЕГЭ

Найдите ординату точки пересечения
графиков линейных функций
5
y x b
2
b ?
5
Подставить в формулу y x b
2
координаты контрольной точки :
например, 1;1 .
5
7
y x
2
2
5
1 b
2
7
b
2

26. Задачи ЕГЭ

Найдите ординату точки пересечения
графиков линейных функций
5
7
x 4 x 10
2
2
5 x 7 8 x 20
3 x 27
x 9
y 4 9 10 36 10 26
y 4 x 10
5
7
y x
2
2

27. Квадратичная функция

Как задать формулой?
Если координаты (х0; у0) вершины параболы целочисленные,
то удобно использовать формулу
y а x х0 у0
2
Координаты вершины :
4; 3
y а х 4 3
а ?
2
Подставить в формулу y а х 4 3
2
координаты контрольной точки :
например, 2;1 .
y х 4 3
2
1 а 2 4 3
а 1
2

28. Квадратичная функция

Как задать формулой?
Координаты вершины :
4;6
y а х 4 6
2
а ?
Подставить в формулу y а х 4 6
2
координаты контрольной точки :
например, 3;3 .
3 а 3 4 6
2
y 3 х 4 6
2
а 3

29. Квадратичная функция

Как задать формулой?
Если нули функции х1 и х2 целочисленные, то удобно
использовать формулу
y а x х1 x х2
y а x 2 x 5
а ?
Подставить в формулу y а x 2 x 5
координаты контрольной точки :
например, 3;2 .
y x 2 x 5
2 а 3 2 3 5
а 1

30. Квадратичная функция

Как задать формулой?
По графику четко определяется ордината точки
пересечения функции с осью ОУ, поэтому удобно
2
использовать формулу y ax bx c
y ax bx 3
2
Подставить в формулу y ax 2 bx 3
координаты контрольных точек :
например, 1; 1 , 2; 3 .
1 a b 3,
a b 4,
a b 4,
a 1,
3 4a 2b 3;
4a 2b 6;
2a b 3;
b 5.

31. Квадратичная функция

Как задать формулой?
y ax bx c
2
Метод контрольных точек
Подставить в формулу y ax 2 bx с
координаты контрольных точек :
например, 4; 1 , 3; 1 , 2;3 .
1 16a 4b с, Вычитаем!
1 9a 3b с,
Вычитаем!
3 4a 2b с;
y 2 x 2 14 x 23
7 a b 0,
2a 4,
a 2,
5a b 4;
7 a b 0;
b 14.

32. Задачи ЕГЭ

Графики функций пересекаются в точках А и В.
Найдите ординату точки В.
f х 4x2 7 x 4
y x ax2 bx c
Подставить в формулу y ax 2 bx 4
координаты контрольных точек :
например, 1;1 , 3; 1 .
1 a b 4,
a b 5,
1 9a 3b 4;
9a 3b 3;
a b 5,
2a 4,
a 2,
3a b 1;
a b 5;
b 7.
y 2 x 2 7 x 4

33. Задачи ЕГЭ

Графики функций пересекаются в точках А и В.
Найдите ординату точки В.
f х 4x 7 x 4
2
y x 2 x2 7 x 4
4 x 2 7 x 4 2 x 2 7 x 4
2 x 2 14 x 0
x1 0 x2 7
y 7 2 7 7 7 4 98 49 4 151
2

34. Обратная пропорциональность

Метод контрольных точек
Подставить в формулу f x
k
x
координаты контрольной точки :
например, 2; 4 .
4
k
2
k 8
f x
8
x
f 16
8
0,5
16

35. Обратная пропорциональность

Используем преобразование:
сдвиг вдоль оси ОУ на 1 единицу.
Подставить в формулу f x
k
1
x
координаты контрольной точки :
например,
3; 2 .
k
k 3
2 1
3
3
3
f х 1 0,8
0, 2
х
х
3
f x 1
x
х 15

36. Обратная пропорциональность

Используем преобразование:
сдвиг вдоль оси ОХ на –1 единицу.
Подставить в формулу f x
k
x 1
координаты контрольной точки :
например,
k
1
2 1
f 19
f x
3
x 1
2;1 .
k 3
3
0,15
19 1
f x
3
x 1

37. Обратная пропорциональность

Используем преобразование:
сдвиг вдоль оси ОХ на –4 и вдоль
оси ОУ на +1.
k
f x
1
x 4
Метод контрольных точек
Подставить в формулу f x
k
1
x 4
координаты контрольной точки :
f x
например, 1;2 .
k
2
1
1 4
k 5
5
1 Приведем к общему знаменателю
x 4
f x
x 9
x 4

38. Задачи ЕГЭ

Графики функций пересекаются в точках А и В.
Найдите ординату точки В.
y x 5x b
Подставить в формулу y x 5 x b
координаты контрольной точки :
например, 2;1 .
1 10 b
b 9
y 5x 9
k
f x
x
k
Подставить в формулу f x
x
координаты контрольной точки :
2
2
2
5
x
9x 2 0
5x 9
f
x
например
,
2;1
.
x
x
1
1
x1 2 x2
y 1 9 10
5
5

39. Метод контрольных точек

Графики функций пересекаются в точке А. Найдите
абсциссу точки А.
y x
1
x 3
2
f x а х
Подставить в формулу f x а х
координаты контрольной точки :
например, 4;5 .
5
f x х
2
1
5
x 3
х
2
2
х 6 5 х
х 5 х 6 0
2
x1 6
x2 1
х 36

40. Метод контрольных точек

Изображен график функции f x а х b .
Найдите f (6).
Подставить в формулу f x а х b
координаты контрольных точек :
например, 0; 2 , 2;1 .
f x 2х 3
f 6 26 3 64 3 61
2 а 0 b
1 а2 3
2 1 b
b 3
а2 4
Так как a 0, то а 2.

41. Метод контрольных точек

Изображен график функции f x а х b .
Найдите х, при котором f (х) = 16.
Подставить в формулу f x а х b
координаты контрольных точек :
например, 3;1 , 1; 4 .
1 а
3 b
3 b 0
b 3
f x 4
1
4
х 3
14
16 4
4 4
4
х 3
1
x 3
4
1
x 3
4
16 x 3
x 13
4
4 а1 3
a4 4
a 4
1
4

42. Метод контрольных точек

Изображен график функции f x b loga x .
Найдите х, при котором f (х) = 1.
Подставить в формулу f x b log a x
координаты контрольных точек :
например, 1; 3 , 2; 2 .
3 b loga 1
2 3 log a 2
3 b
log a 2 1
a 2
f x 3 log2 x
3 log 2 x 1
log 2 x 4
x 24
x 16

43. Метод контрольных точек

Изображен график функции f x loga x b .
Найдите f (11).
Подставить в формулу f x log a x b
координаты контрольных точек :
например, 4;0 , 3;1 .
f x log2 x 5
f 11 log2 11 5 log2 16 4
0 log a 4 b
1 log a 3 5
4 b 1
b 5
1 log a 2
a 2

44. Метод контрольных точек

Изображен график функции f x a cos x b .
Найдите b.
Подставить в формулу f x a cos x b координаты контрольных точек :
1
например, ; 1 , 0; .
2 2
1 a cos b
2
b 1
1
a cos 0 1
2
1
a 1
2
3
a
2
3
f x cos x 1
2

45. Метод контрольных точек

Изображен график функции f x a sin x b .
Найдите a.
Подставить в формулу f x a sin x b координаты контрольных точек :
7 3
например, ; , 0; .
2 2 2
3
a sin 0 b
2
3
b
2
7
3
a sin
2
2 2
7
3
a
2
2
a 2
f x 2sin x
3
2

46. Проверь себя

47. Проверь себя

2,25
3
y
х 2
2

48. Проверь себя

49. Проверь себя

16
y 3 х 2

50. Проверь себя

Задайте формулой график линейной функции

51. Проверь себя

Задайте формулой график линейной функции
–15
y х 2 1
2

52.

Спасибо за внимание!