Линейная и квадратичная функции и их графики

1. Линейная и квадратичная функции и их графики

2. Цель урока:

• повторить определение линейной и
квадратичной функций, название и вид
графиков,
• зависимость расположения графиков
функций от коэффициентов,
• сформулировать план построения графиков
линейной и квадратичной функций, и план
определения функции по заданному
графику.

3. Функция вида y = kx + b, где k и b числа, x и y переменные, называется линейной функцией.

x – независимая переменная (аргумент)
y – зависимая переменная (функция)

4. Графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия

Построим график функции у = 2х + 1
х
у
0
1
2
5

5.

5
1
0
1
2

6. k - угловой коэффициент

Если k > 0, то угол, образованный
графиком функции и осью ОХ
острый
у = 3х - 1
х
у
0
-1
2
5

7.

5
0
-1
1
2

8.

Если k ˂ 0, то угол, образованный
графиком функции и осью ОХ
тупой
у = -3х + 1
х
у
0
1
2
-5

9.

1
0
5
1
2

10.

Если k = 0, то график функции
параллелен оси ОХ
у=3
х
у
0
3
2
3

11.

3
0
1
2

12.

Если у линейных функций угловые
коэффициенты одинаковы, то
график функций параллельны
у = 2х
х
у
0
0
2
4
У = 2х +1
х
у
0
1
2
5

13.

5
1
0
1
2

14. Коэффициент b (свободный коэффициент) показывает точку пересечения графика функции с осью ОУ

у = 3х - 1
х
у
0
-1
2
5

15.

5
0
1
-1
2

16. Функция вида y = аx² + bх + с, где а ≠ 0, называется квадратичной функцией. Графиком функции является парабола.

17.

Направление ветвей параболы
определяются значениями
коэффициента а,
а ˃ 0, ветви направлены вверх
а ˂ 0, ветви направлены вниз.

18.

Пересечение параболы с осью ОХ
определяется дискриминантом
D = b2 - 4ac,
D ˃ 0, две точки пересечения
D = 0, одна точка пересечения
D ˂ 0, нет точек пересечения

19.

а ˃ 0, D ˃ 0
0
-1
Х₁ = -b + √D
2a
Х₂ = -b - √D
2a
Х
1
Х₁
Х₂

20.

а ˃ 0, D = 0
0
Х
1
-1
Х₁=Х₂

21.

а ˃ 0, D ˂ 0
0
-1
1
Х

22.

а ˂ 0, D ˃ 0
0
-1
1
Х

23.

а ˂ 0, D = 0
0
-1
1
Х

24.

а ˂ 0, D ˂ 0
0
-1
1
Х

25.

Координаты вершины параболы
y = аx² + bх + с
(-b ; -D)
2a
4a

26.

У
1
0
(-b ; -D)
2a
4a

27.

Прямая х = -b является осью
2a
симметрии параболы

28.

У
1
0
(-b ; -D)
2a
4a

29. Для функции y = аx² + bх + с коэффициент с (свободный коэффициент) показывает точку пересечения графика с осью ОУ

30.

У
с
1
0
(-b ; -D)
2a
4a

31.

План построения графика
линейной функции
Для построения графика:
достаточно найти координаты двух любых
точек и провести через них прямую линию

32. План определения функции по заданному графику

Для определения функции по заданному
графику необходимо:
• по значению коэффициента k определить угол,
образованный графиком функции и осью ОХ,
• по значению коэффициента b определить
пересечение графика функции с осью ОУ,
• если k=0, то график функции располагается
параллельно оси ОХ, и пересекает ось ОУ в
точке (0, b).

33. План построения графика квадратичной функции

• по значению коэффициента a определить направление
ветвей параболы,
• найти значение дискриминанта D и определить
количество точек пересечения параболы с осью ОХ,
• найти координаты вершины параболы (-b ; -D)
2a
4a
• по значению коэффициента с определить точку
пересечения параболы с осью ОУ, координаты точки
пересечения (0, с)
• построить точку симметричную точке (0, с),
• соединить плавной линией полученные точки.

34.

Пользуясь графиком квадратичной функции,
изображённом на рисунке, указать формулу,
задающую эту функцию:
у = х2 + 6х + 5
у = -х2 + 5х + 1
у = х2 - 6х + 5
у = -х2 - 6х + 5

35. Спасибо за просмотр

И удачного
выполнения
самостоятельной
работы