Комплексные числа

1. Комплексные числа и действия над ними.

2. Основные понятия.

Определение.
Комплексным числом Z называется
z = a + bi ,
выражение вида
где a и b- действительные числа, а i - мнимая
единица, и
i 2 = -1
Например, Z1 = 6+2i или Z2 = 1-5i .
Число a называется действительной частью
комплексного числа и обозначается a=Re z,
а b - мнимой частью и обозначается b=Im z.

3. Основные понятия.

Два комплексных числа
называются равными
тогда и только тогда,
когда равны их
действительные и
мнимые части.
Два комплексных числа,
отличающихся лишь
знаком мнимой части,
называются комплексносопряженными.
z1 = a1 + b1i ;
z 2 = a 2 + b 2i
z1 = z2 a1 = a 2 ; b1 = b 2
z1 = a1 + b1i
z2 = a 2 - b 2i

4. Примеры.

Пример 1.
Пример 2.
z1 = 5 + 3i ;
z1 = 5 + 3i ;
z2 = 25 / 5 + 15 / 5i
z2 = 5 - 3i
a = 5 = 25 / 5
b = 3 = 15 / 5
Вывод : z1 = z2
Вывод : z1 и z2
комплексно сопряженные числа.

5. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число
можно изобразить точкой
плоскости xOy такой, что
x=Re z, y=Im z.
И, наоборот, каждую точку
координатной плоскости
можно рассматривать как
образ комплексного
числа.
Z = a+bi, М(a, b)
y
M(a ; b )
O
x

6. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
M(x;y)
O
x
Плоскость, на которой
изображается
комплексные числа,
называется комплексной
плоскостью.
Ось абсцисс Ox называется
действительной осью.
Ось ординат Oy называется
мнимой осью.

7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
r = OM
M(x;y)
φ
O
x
Комплексное число можно
задавать с помощью
радиус
вектора r = OM .
Длина вектора называется
модулем этого числа и
обозначается Z или r .
Величина угла между
положительным направлением
оси Ox и вектором r
называется аргументом этого
комплексного числа и
обозначается Arg Z или j.
Аргумент комплексного числа
определяется с точностью до
слагаемого 2pk.

8. Формы записи комплексных чисел.

Модуль r и аргумент j можно
рассматривать как полярные
координаты вектора r = OM
Тогда получаем
Запись числa
z=a+bi
называется
алгебраической формой
комплексного числа.
Комплексное число z=a+bi
можно записать в виде
Запись числа z в виде
z=r(cosφ+isinφ)
называется
тригонометрической
формой
комплексного числа.
x = r cos j
y = r sin j
z = r cos j + ir sin j
Или
z = r (cos j + i sin j )

9. 2. Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных
чисел
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
Называется комплексное
число
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i
Разностью двух комплексных
чисел z = x + y i
1
1
1
z 2 = x2 + y 2 i
Называется комплексное
число
z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + ( y1 - y2 )i
Геометрически комплексные числа
складываются и вычитаются, как
векторы.

10. Сложение (вычитание) комплексных чисел

Примеры:
1. z1 = 4 + 2i
z2 = -5 + 3i
z1 + z2 = (4 - 5) + (2 + 3)i = -1 + 5i
2.
z1 = 3 - 5i
z2 = 2 - 7i
z1 - z 2 = (3 - 2) + (-5 - (-7)i = 1 + 2i

11. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведением двух
комплексных чисел
Частным двух комплексных
чисел
z1 = x1 + y1i
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
называется комплексное
число
z 2 = x2 + y 2 i
называется комплексное
число
z
xx +yy
y x -x y
z = 1 = 1 22 12 2 + 1 22 12 2 i
z2
x2 + y 2
x2 + y 2
z = z1 z2 = ( x1 x2 - y1 y2 ) + ( x1 y2 + y1 x2 )i
Формула получается путем
перемножения двучленов!
( x1 + y1i)( x2 + y2i)
На практике используют
умножение числителя и
знаменателя на число,
сопряженное ( x1 + y1i ) ( x - y i)
2
2
знаменателю! ( x2 + y2i ) ( x2 - y2i)

12. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведение:
Частное:
z1 = 1 + 2i
z1 = 1 + 2i
z2 = 3 + 4i
z2 = 1 + i
z1 z2 = (1 + 2i) (3 + 4i) =
1 + 2i (1 + 2i )(1 - i )
=
=
1+ i
(1 + i )(1 - i )
= 1 3 + 2i 3 + 1 4i + 2i 4i =
= 4 + 6i + 4i + 8i 2 = 4 + 10i - 8 =
= -4 + 10i
=
z1 z2 = -4 + 10i
i = -1
2
1 + 2i - i + 2 3 + i
=
1+1
2
z1 3 1
= + i
z2 2 2