Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи

1.

п.24 Арифметические действия над
комплексными числами в разных формах
записи. Комплексно сопряженные числа.
Выписать определения, основные формулы, разобрать
примеры. Выполнить домашнюю работу слайды 16-19.

2.

Два комплексных числа называются
сопряженными, если они
отличаются друг от друга только
знаками перед мнимой частью.
z1= a+bi
и
z2=a-bi
Например:
z1= 2+3i
и
z2=2-3i
2

3.

Действия над комплексными числами
1) Действия над
алгебраической форме
комплексными
числами,
заданными
в
а) Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется
комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
Свойства операции сложения:
1. z1+z2= z2+z1,
2. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
3. z+0=z.
б) Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется
такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1 и
определяется равенством
z = z1 – z2 = (x1 – x2)+i(y1 – y2).

4.

в) Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется
комплексное число, определяемое равенством
Z = z1⋅ z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2 –x2 y1 ).
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
i2= – 1.
Свойства операции умножения:
1. z1z2= z2z1,
2. (z1z2)z3=z1(z2z3),
3. z1(z2+z3 ) =z1z2+z1z3,
4. z∙1=z.

5.

г) Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению.
Частным двух комплексных чисел
z1 и z2≠0 называется
комплексное число z, которое будучи умноженным на z2, дает число z1,
z1
z , если z2 z = z1.
z2
Если положить z1=x1+y1i, z2=x2+y2 i≠0, z=x+yi, то из равенства
(x+yi)(x2+iy2)= x1+y1i, следует
т.е.
xx2 yy2 x1 ,
xy2 yx2 y1.
Решая систему, найдем значения x и y:
x1 x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
x
, y
.
2
2
2
2
x2 y 2
x2 y 2
Таким образом,
z
z1 x1 x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
i
.
2
2
2
2
z2
x2 y 2
x2 y 2

6.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они
отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:
умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное
делителю.
Пример. Выполнить деление:
Решение. Произведем умножение для делимого и делителя в
отдельности:
(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
Итак,

7.

На практике вместо полученной формулы используют следующий прием:
умножают числитель и знаменатель дроби
z1
на число, сопряженное
z2
знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример 2. Даны комплексные числа 10+8i, 1+i. Найдем их сумму,
разность, произведение и частное.
Решение.
а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;
б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i=9+7i;
в) (10+8i)(1+i) =10+10i+8i+8i2=2+18i;
2
10
8
i
(
10
8
i
)(
1
i
)
10
10
i
8
i
8
i
18 2i
г)
9 i.
2
1 i
(1 i)(1 i)
1 i
2

8.

д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической
форме в n-ю степень
Выпишем целые степени мнимой единицы:
i3
i4
i5
i6
i 2 i ( 1)i i,
i 3 i ( i)i i 2 ( 1) 1,
i 4 i 1 i i,
i 5 i i 2 1 и т.д.
В общем виде полученный результат можно записать так:
i 4n 1;
i 4n 1 i;
i 4 n 2 1;
i 4 n 3 i (n 0, 1, 2, ...).
Пример 3. Вычислить i2092 .
Решение.
1) Представим показатель степени в виде n=4k+l
и воспользуемся
свойством степени с рациональным показателем z4k+1=(z4)k ∙ zl .
Имеем: 2092=4∙523 .
Таким образом, i2092 = i4∙523 =(i4)523, но так как i4=1, то окончательно
получим i2092 =1.
Ответ: i2092 =1.

9.

е) Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Квадратным корнем из комплексного числа
комплексное число, квадрат которого равен данному.
называется
такое
Обозначим квадратный корень из комплексного числа x+yi через u+vi,
тогда по определению
x yi u vi.
Формулы для нахождения u и v имеют вид
1
x x2 y2 ,
2
1
v
x x2 y2 .
2
u
(1)
Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли
равенству 2uv=y .

10.

Пример 4. Извлечем квадратный корень из комплексного числа z=5+12i.
Решение.
Обозначим квадратный корень из числа z
(u+vi)2=5+12i.
через u+vi, тогда
Поскольку в данном случае x=5, y=12, то по формулам (1) получаем:
1
5
2
u2
1
1
5 5 2 12 2 (5 13) 9;
2
2
v2
5 2 12 2 4;
u2=9; u1=3; u2= – 3; v2=4; v1=2; v2= – 2.
Таким образом, найдено два значения квадратного корня: u1+v1i=3+2i,
u2+v2i= –3 –2i, . (Знаки выбрали согласно равенству 2uv=y, т.е. поскольку
y=12>0, то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)
Ответ:
5 12i 3 2i .

11.

2) Действия над комплексными
тригонометрической форме
Рассмотрим два комплексных числа
тригонометрической форме
числами,
z1
заданными
и z2 , заданных в
z1 r (cos i sin ), z 2 (cos i sin ).
а) Произведение комплексных чисел
Выполняя умножение чисел z1 и z2 , получаем
z1 z 2 r cos i sin cos i sin
r cos cos i cos sin i sin cos sin sin
r cos cos sin sin i cos sin sin cos ,
z1 z 2 r cos i sin
в

12.

б) Частное двух комплексных чисел
Пусть заданы комплексные числа
z1 и z2 ≠ 0.
z1
, имеем
Рассмотрим частное
z2
z1 r (cos i sin )
r (cos i sin ) cos i sin
z 2 (cos i sin ) cos i sin cos i sin
r cos cos sin sin i sin cos cos sin
,
2
2
cos sin
z1 r
cos i sin
z2

13.

z1 2 cos i sin ,
4
4
Пример . Даны два комплексных числа
z2
2
2
Найдите
z1 z 2 ,
.
z 2 2 cos
i sin
.
3
3
z1
Решение.
1) Используя формулу
получаем
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 ,
2
2
z1 z2 2 2 cos
i sin
.
4 3
4 3
11
11
z
z
2
2
cos
i
sin
.
Следовательно,
1
2
12
12
z1 r1
2) Используя формулу
cos 1 2 i sin 1 2 ,
z2 r2
получаем
z2
2 2
2
cos
i
sin
.
z1
2 3 4
3 4
z1
5
5
2 cos
i sin
Следовательно,
.
z2
12
12
4
4 z1
5
5
z
2
cos
i
sin
,
2
cos
i
sin
Ответ:
.
3
3 z2
12
12
.
.

14.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Найти произведение комплексных чисел:
z1
7
cos 950 i sin 950
2
u
z 2 2 cos 650 i sin 650
7
z1 z 2 2 cos 950 650 i sin 950 650
2
7 cos 950 650 i sin 950 650 7 cos 300 i sin 30 0
3 1 7 3 7
7
i
i
2
2
2 2

15.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Найти частное комплексных чисел:
2
z1 cos 1500 i sin 1500
3
u
z2 2 cos 900 i sin 900
z1 2 1 cos 1500 i sin 1500 1
0
0
0
0
cos
150
90
i
sin
150
90
0
0
z 2 3 2 cos 90 i sin 90
3
1
1 1
3 1
3
0
0
cos 60 i sin 60
i
i
3
3 2 2 6 6

16.

Домашняя работа

17.

Вычислите:
1. (2 + 3i) + (5 + i) =
2. (– 2 + 3i) – (1 – 8i) =
3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) =
17

18.

При выполнении умножения можно использовать
формулы:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2,
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab ± b3.
Пример. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2; б) (3 – 5i)2; в) (5 + 3i)3.
Решение.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2×2×3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
Выполнить действия:
б) (3 – 5i)2 =
в) (5 + 3i)3 =

19.

Действия над комплексными числами
Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1 2 3i ,
z2 1 4i
z1 z2 2 3i 1 4i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i )
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )