Лекция_06

1. СПбГТИ(ТУ) кафедра математики ЛЕКЦИЯ №6 ТЕМА 4. «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА МНОГОЧЛЕНЫ»

СПБГТИ(ТУ)
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
ЛЕКЦИЯ №6
ТЕМА 4. «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
МНОГОЧЛЕНЫ»

2.

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
Понятие множества является
неопределяемых понятий математики.
одним
из
основных
Определение. Под множеством понимают совокупность
некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Определение. Объекты, из которых состоит множество,
называют его элементами.
Обозначение. A, B,
– множества, элементы – a A .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым, обозначается .
Определение. Множество A называется подмножеством
множества B , если каждый элемент множества A является
элементом множества B . Обозначение. A B .
Если A B и B A , то множества A и B равны A B
2

3.

Множества, элементами которых являются числа, называются
числовыми
N {1;2; ; n } – множество натуральных чисел
Z0 {0;1; ; n; } – множество целых неотрицательных чисел
Z {0; 1; ; n; } – множество целых чисел
Q {
m
: m Z, n N} – множество рациональных чисел
n
R – множество действительных чисел (содержит рациональные и
иррациональные числа) – множество всех бесконечных
десятичных дробей
R {x : x , 1 2 3 }, где Z , i {0,1,
,9}
3
N Z0 Z Q R

4.

§ 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Определение. Комплексным числом называется выражение
вида
z x yi ,
где x, y R ; i – мнимая единица, i
1 , i 2 1; .
x – это вещественная часть комплексного числа Re z x ;
y – это мнимая часть комплексного числа Im z y .
Множество комплексных чисел обозначается C .
R C
Определение. Два комплексных числа z и z называются
сопряженными, если они отличаются, друг от друга только знаком
при мнимой части:
z x yi
z x yi .
Определение. Два комплексных числа называются равными
тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части.
Понятие «больше» «меньше» для комплексных чисел не
существует.
4

5.

Геометрическое представление комплексного числа
Каждому комплексному числу z x yi
единственная точка M x; y на плоскости Oxy .
соответствует
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называется комплексной плоскостью.
Оси Ox и Oy называются действительной и мнимой осями.
Модулем комплексного числа z x yi называется длина r
вектора OM :
z r
Re z Im z x 2 y 2 ,
2
2
z .
Угол (OM , OX ) называется аргументом комплексного
числа z x yi и обозначается Arg z
Запись z x yi , используемая в определении комплексного
числа, называется алгебраической формой записи комплексного
числа.
5

6.

Используя связь декартовых координат с полярными:
x r cos
y r sin
из алгебраической формы комплексного числа z x yi получим
тригонометрическую форму записи комплексного числа
z r cos i sin
Аргумент комплексного числа определяется с точностью до
слагаемого:
Arg z arg z 2 k , k Z ,
где arg z – главное значение аргумента 0 arg z 2
y
arctg
,
z I четверть,
x
y
arg z= +arctg , z II , III четверти,
x
y
2 +arctg , z IV четверти.
x
6

7.

Для любого комплексного числа z x yi можно определить
показательную функцию e z
e z e x yi e x cos y i sin y
Полагая в выражении e x yi
классическую формулу Эйлера:
x 0, а
y , получим
ei cos i sin
называется
z r cos i sin rei
показательной формой комплексного числа, r z , Arg z .
Выражение
7

8.

Действия над комплексными числами
z1 x1 y1i r1 (cos 1 i sin 1 ) r1ei 1
z2 x2 y2i r2 (cos 2 i sin 2 ) r2ei 2
1. Сумма (разность)
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i .
2. Произведение комплексных чисел
z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1 x2 y1 y2 x1 y2 y1 x2 i
z1 z2 r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )
z1 z2 r1 r2 ei ( 1 2 ) .
3. Деление комплексных чисел
z1 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
.
2
2
z2 z2 z2
x2 y2
z1 r1
cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .
z2 r2
z1 r1 i ( 1 2 )
e
z2 r2
8

9.

4. Возведение комплексного числа z x yi в целую
положительную степень n
z r cos i sin r n cos n i sin n ,
n
n
n N
формула Муавра
z n r nein
5. Корень n -ой степени из комплексного числа z x yi
Корень n -ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений, которые находятся по формуле при
k 0,1,2,..., n 1
n
2 k
2 k
z n r cos
i sin
n
n
n
z n re
i
2 k
n
9

10.

§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ
Определение. Многочленом степени n относительно x
называется выражение вида:
Pn ( x) an x n an 1 x n 1
a1 x a0 ,
где a0 , a1 ,…, an C , an 0 .
Многочлены можно складывать, умножать, вычитать, делить
(делить с остатком).
Разделить многочлен Pn ( x) на любой многочлен Qm ( x) ,
(n m) , с остатком это значит:
Pn ( x) Qm ( x)
ln m ( x )
получим
Rk ( x) k m, k N
где ln m ( x) – неполное частное,
Rk ( x) – остаток.
Pn ( x)
R ( x)
ln m ( x ) k
,
Qm ( x)
Qm ( x)
10

11.

P3 ( x) x3 2 x 2
Пример.
2
Q2 ( x)
x 1
x3 2 x 2 x 2 1
3
x x x 2 частное
2x2 x
2
2x 2
x 2 остаток
x3 2 x 2
x 2
x 2
x
2
x
2
x2 1
x2 1
x2 1
11

12.

Определение. Корнем многочлена Pn ( x) называется число x0
такое что Pn ( x0 ) 0 .
Теорема (основная терема алгебры). Любой многочлен Pn ( x)
ненулевой степени n 0 , имеет хотя бы один корень на множестве
С комплексных чисел.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn ( x) , n 1 на
двучлен ( x x0 ) равен значению многочлена в точке x0 .
Следствие (признак делимости многочлена). Для того чтобы
многочлен Pn ( x) делился на ( x x0 ) нацело (без остатка)
необходимо и достаточно, чтобы x0 был корнем многочлена Pn ( x),
то есть Pn ( x0 ) 0 .
12

13.

Определение. x0 корень многочлена Pn ( x) кратности k , если
Pn ( x) ( x x0 ) k ln k ( x) и ln k ( x0 ) 0
Определение. x0 – простой корень многочлена, если его
кратность равна единице.
Теорема о разложении многочлена на линейные
сомножители. Любой многочлен Pn ( x) , n 1 можно представить в
виде:
Pn ( x) an ( x x1 )( x x2 )
( x xn ) ,
где x1 , x2 ,…, xn C , среди которых могут быть равные значения.
13