Практика 1 Комплексные числа

1.

АГиТДУ
Практика 1 Комплексные числа
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

О дисциплине
Раздел 1: Комплексные числа и многочлены. ИДЗ.
Раздел 2: Матричная алгебра и СЛУ. КР.
Раздел 3: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. КР Векторная
алгебра. + ИДЗ Аналитическая геометрия.
Онлайн курс-сопровождение: https://elearn.urfu.ru/course/view.php?id=8811
Кодовое слово для записи на курс: агитду25
Команда в Телеграм:

3.

Распределение вариантов ИДЗ
ВАРИАНТ
РИ-150921/1
ФИО РИ-150921/1
1
Аксенов Дмитрий Владиславович
2
Белов Андрей Дмитриевич
3
Белоусова Анна Дмитриевна
4
Габанян Слава Самвелович
5
Диденко Кирилл Андреевич
6
Дудин Максим Андреевич
7
Железняк Тимофей Александрович
8
Золотухин Александр Сергеевич
9
Киреева Виктория Денисовна
10
Кучеренко Егор Сергеевич
11
Люкова Софья Алексеевна
12
Максим Дмитрий Иванович
13
Матушкина Алика Алексеевна
14
Морозова Александра Алексеевна
15
Николаев Георгий Павлович
16
Пензев Леонид Анатольевич
17
Рожин Степан Станиславович
18
Сакаева Анастасия Вадимовна
19
Серебров Игорь Михайлович
20
Тимченко Арина Игоревна

4.

Распределение вариантов ИДЗ
ФИО РИ-150922/1
РИ-150922/1
1
Азмагулов Ринат Маликович
2
Байдаков Максим Александрович
3
Батянов Денис Дмитриевич
4
Болтинских Анна Яновна
5
Завьялов Кирилл Олегович
6
Загоскин Максим Евгеньевич
7
Захаров Михаил Андреевич
8
Иванова Евгения Валерьевна
9
Кадиева Диана Исмаиловна
10
Канагатов Денис Алмасович
11
Каширцев Михаил Анатольевич
12
Кузнецов Кирилл Александрович
13
Куликова Ольга Субхановна
14
Малахов Ярослав Вячеславович
15
Мокина Елена Валерьевна
16
Нигаматьянов Данил Тимурович
17
Нифонтова Варвара Анатольевна
18
Овчинникова Вероника Романовна
19
Петрусенко Роман Васильевич
20
Попов Кирилл Александрович

5.

Распределение вариантов ИДЗ
ФИО РИ-150921/2
РИ-150921/2
1
Бармин Егор Сергеевич
2
Бельтюков Владислав Викторович
3
Запорожченко Владислав Александрович
4
Игнатьев Михаил Антонович
5
Кочетова Анастасия Викторовна
6
Кочнев Константин Александрович
7
Крам Владислав Александрович
8
Кузовников Николай Павлович
9
Немчинов Кирилл Юрьевич
10
Ошев Кирилл Александрович
11
Попова Наина Александровна
12
Прокопьев Александр Николаевич
13
Салтанов Илья Григорьевич
14
Симонова Яна Антоновна
15
Старцева Ульяна Владимировна
16
Тимофеев Матвей Львович
17
Урманчеев Радомир Дамирович
18
Шаврин Егор Витальевич
19
Швецов Роман Денисович
20
Шевелев Артём Александрович

6.

Распределение вариантов ИДЗ
ФИО РИ-150922/2
РИ-150922/2
1
Альцев Дмитрий Александрович
2
Габов Егор Валерьевич
3
Галиахметова Вероника Олеговна
4
Давыдова Дарья Николаевна
5
Желнова Полина Евгеньевна
6
Ладыгин Иван Сергеевич
7
Малышкин Никита Евгеньевич
8
Мусиенко Матвей Валерьевич
9
Петренко Надежда Владиславовна
10
Разбойкин Никита Андреевич
11
Разуваев Максим Александрович
12
Салимгареев Валерий Николаевич
13
Сиваева Екатерина Олеговна
14
Скляр Александр Максимович
15
Склярова Анастасия Андреевна
16
Скороходова Ольга Александровна
17
Толошный Захар Павлович
18
Халиуллина Эльнара Илшатовна
19
Шадрин Егор Олегович
20
Якшина Анна Евгеньевна

7.

Распределение вариантов ИДЗ
ФИО РИ-150923
РИ-150923
1
Бангерт Константин Николаевич
2
Галиуллина Ангелина Евгеньевна
3
Дедкова Виктория Александровна
4
Каджаиа Георгий Малхазиевич
5
Каминский Марк Леонидович
6
Ковалевский Тимур Александрович
7
Лапшин Антон Ярославович
8
Мацаров Данил Николаевич
9
Машнина Екатерина Сергеевна
10
Павлов Артём Алексеевич
11
Перминов Никита Константинович
12
Петросян Тигран Карапетович
13
Тарасов Василий Витальевич
14
Тарасов Дмитрий Александрович
15
Трейзе Матвей Иванович
16
Угрюмова Александра Сергеевна
17
Ханов Искандер Рафаэльевич

8.

Алгебра или алгебраическая структура
Алгебра – множество с заданными на нем операциями.
В зависимости от свойств операций на данном множестве определяют вид алгебры.

9.

Определение z
§ 1. Комплексные числа: определение, изображение, формы
записи
К понятию комплексного числа привело стремление решить
простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди
действительных чисел: х2 + 1 = 0.
Комплексным числом z называется выражение вида
z = x + jy, где x, y ℝ, j − мнимая единица ( j2 = 1).
Числа x, y называются соответственно действительной и мнимой
частью комплексного числа z и обозначаются Re z = x, Im z = y.

10.

Определение многочлена
Если x = 0, то число 0 + jy = jy называется чисто мнимым;
если y = 0, то x + j 0 = x есть действительное число.
Два комплексных числа считаются равными, если равны их
действительные части и равны их мнимые части, т.е.
z1 = z2 x1 + jy1 = x2 + jy2 x1 = x2 ˄ y1 = y2.
Комплексные числа z = x + jy и z x jy,
отличающиеся знаком мнимой части, называются комплексносопряженными.

11.

Геометрическая модель числа z
Комплексное число z = x + jy изображается точкой М плоскости с
координатами x, y или ее радиус-вектором.
Длина вектора OM называется модулем комплексного числа z и
обозначается |z|, или r:
| z | r x 2 y 2 .
Угол φ между радиус-вектором
OM и
положительным направлением оси Ox
называется аргументом комплексного числа z
и обозначается φ = Arg z (по кратчайшему пути).

12.

Модуль и аргумент
Модуль комплексного числа есть число неотрицательное и
определяется однозначно.
Аргумент комплексного числа z 0, определяемый только в радианах,
имеет бесконечное множество своих значений. Они отличаются друг от
друга на числа, кратные 2π, и только одно значение (обозначим его arg z)
удовлетворяет условию:
arg z .
Его называют главным значением аргумента числа z.
Множество всех значений аргумента:
Arg z arg z 2 k , k Z .

13.

Определение аргумента

14.

Определение аргумента
Если z 0, то
y
arctg x , x 0, y;
arctg y , x 0, y 0;
x
y
arg z arctg , x 0, y 0;
x
2 , x 0, y 0;
, x 0, y 0.
2
Для числа z = 0 аргумент не определен.

15.

Формы записи комплексного числа
Комплексное число z имеет три формы записи:
z = x + j y – алгебраическая форма
z = (cosφ + j sinφ) – тригонометрическая форма
Формула Эйлера:
e j φ = cosφ + j sinφ.
z = ej φ – показательная форма.

16.

Пример
z = x + j y – алгебраическая форма
z = (cosφ + j sinφ) – тригонометрическая форма
z = ej φ – показательная форма.
Пример. Записать комплексное число z 1 j 3
в тригонометрической и показательной формах.

17.

§ 2. Операции над комплексными числами
Пусть z1 = x1 + jy1 = 1(cosφ1 + j sinφ1) = 1e j φ1,
z2 = x2 + jy2 = 2(cosφ2 + j sinφ2) = 2e j φ2.
1. Операция сложения (вычитания) в алгебраической форме

18.

§ 2. Операции над комплексными числами
2. Операция умножения в алгебраической форме
в частности,
- в показательной форме

19.

Операции над комплексными числами
- в тригонометрической форме
3. Операция деления
- в алгебраической форме

20.

Операции над комплексными числами
- в показательной форме
- в тригонометрической форме

21.

Операции над комплексными числами
4. Операция возведения в натуральную степень
- в алгебраической форме

22.

Операции над комплексными числами
- в показательной форме
- в тригонометрической форме

23.

Пример
Вычислить, ответ записать во всех известных формах и
изобразить на комплексной плоскости:

24.

Пример

25.

Извлечение корня
5. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
определяется как действие, обратное возведению в степень, т.е. если n = z.
В тригонометрической форме:
пусть z = (cosφ + j sinφ), = r (cosψ + j sinψ).
Так как n = z, то
rn(cos(nψ) + j sin((nψ)) = (cosφ + j sinφ).
У равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут
отличаться на число, кратное 2π, т. е.
или

26.

Извлечение корня
Подставляя эти значения в выражение
получим формулу извлечения
корня из комплексного числа:
где k = 0, 1,..., n 1.
Придавая k указанные значения, получим n различных значений корня n-ой
степени из комплексного числа. При других значениях k получим значения корня,
совпадающие с уже найденными.
Например, совпадают значения при k = n и k = 0, т.к.:

27.

Извлечение корня
Аналогично, n+1 = 1, n+2 = 2,…
Пример. Решить уравнение z4 + 1 = 0.

28.

ИДЗ по вариантам