Комплексные числа

1. Математика Часть 2

УГТУ-УПИ
2007 г.

2.

Лекция 3
Комплексные числа
1. Основные понятия.
2. Операции над комплексными числами.

3.

1. Основные понятия.
Комплексные
Комплексные числа
числа -- это
это числа
числа вида
вида
z=x+iy
z=x+iy,,
xxииyy––действительные
действительные числа,
числа, аа ii-- мнимая
мнимая единица,
единица,
22
определяемая
так:
i
определяемая так: i =-1
=-1 (i=
(i= 1 )) ..
xx –– реальная
реальная часть
часть zz,, y
y––мнимая
мнимая часть
часть zz..
где
где
Обозначения:
Обозначения:
xx == Re
Re zz
yy == Im
Imzz
Для
Для комплексных
комплексных чисел
чиселиспользуют
используют также
также обозначение:
обозначение:
zz== (x,y).
(x,y).

4.

Числа
Числа zz11 == (( xx11,y,y11)) ии zz22 == (( xx22,y,y22))
равными,
равными, если
если xx11 == xx22 ии yy11 == yy22..
называются
называются
Комплексным
Комплексным нулем
нулем называется
называется число
число
zz == (0,0).
(0,0).
Число
Число zz == (( xx,0
,0)) называется
называется действительным
действительным ии
обозначается
обозначается (( xx,0
,0)) == x.
x.
ii
Число
Число zz ==(( 00,y,y)) называется
называется мнимым,
мнимым, (( 00,y,y)) == yy ..

5.

Число
Число zz == (( 00,1
,1)-)- мнимая
мнимая единица
единица ::
ii == (( 00,1
,1))
z=x+iy – это алгебраическая форма записи
комплексного числа.

6.

2. Операции над комплексными числами .
Рассмотрим комплексные числа в алгебраической
форме:
z1 x1 iy1 ; z2 x2 iy2 ;
I. Сложение.
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 )
II. Умножение.
z1
z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
( x1 x2 i y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 );
2
z1 z 2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 )

7.

Число
Число z*
z* == (( xx,-y
,-y)) называется
называется сопряженным
сопряженным кк
числу
числу zz == (( xx,y,y).).
Вычислим
1) z z* ( x iy ) ( x iy ) 2x;
z z* 2 x
2) z z* ( x iy ) ( x iy ) x i y x y ;
2
z z* x y
2
2
2
2
2
2

8.

III. Вычитание (обратное сложению).
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 )
IV. Деление (обратное умножению).
z1
z
z2

9.

Чтобы выполнить деление, надо домножить числитель и
знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
*
2
*
2
z1 z1
z
z2 z2
z

10.

В результате получим:
z1 x1 x2 y1 y2
x2 y1 x1 y2
i
2
2
2
2
z2
x2 y2
x 2 y2
Пользуясь алгебраической формой комплексного числа,
можно производить операции сложения, умножения и
вычитания по обычным правилам для многочленов.
При делении комплексных чисел надо числитель и
знаменатель домножить на сопряженное
знаменателю число.

11.

Пример.
z1 2 3i; z2 1 2i;
Выполнить действия I-IV.
Решение.
1) z1 z2 2 3i 1 2i 3 i 5;
2) z1
z2 2 3i
1 2i 4 i 7;
3) z1 z2 2 3i 1 2i 1 i;
2 3i 1 2i
z1
zz
4)
z2
zz
1 2i 1 2i
*
1 2
*
2 2
2 4i 3i 6i
8 i 8 1
i
1 4
5
5
5
2

12.

Изображение комплексных чисел
на плоскости.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа
будем называть комплексной, ось абсцисс –
действительной осью, ось ординат – мнимой осью.
z =(x,y) однозначно определяется
двумя числами x и y , следовательно, его можно
изобразить точкой на плоскости с координатами x и y .
Комплексное число

13.

y
z = x+iy
M( x,y)
x
Существует взаимно однозначное
соответствие между множеством всех
комплексных чисел z = (x,y) и
множеством точек M(x,y)
комплексной плоскости, а также
между множеством радиус-векторов
с координатами (x,y).
Операции сложения и вычитания
можно выполнять в векторной
форме.
Замечание.
z1+ z 2
z1
z2 z2- z1
Множество комплексных чисел не поддается упорядочению.

14.

Тригонометрическая и показательная
формы записи комплексного числа.
y
r
z = x+iy
x r cos
y r sin
x
r
x2 y 2
y
tg
x
r 0

15.

Таким образом,
z r cos ir sin
или
(Т)
z r (cos i sin )
тригонометрическая форма записи комплексного числа
Число
Число rr называется
называется модулем,
модулем, аа
аргументом
аргументом комплексного
комплексного числа
числа zz ..
число
число

16.

Обозначения.
z r
arg z
Формула Эйлера
Запишем формулы Маклорена для функций cos , sin .
2 4 6
cos 1
...
2! 4! 6!
3 5
i sin i (
...)
3! 5!
cos i sin 1 i
i
i
...
2!
3! 4!
5!
2
3
4
5

17.

cos i sin 1 i
i
i
...
2!
3! 4!
5!
С учётом: i 2 1;i 3 i i 2 i; i 4 i 2 i 2 1;
5
4
i i i i;...
2
i
cos i sin 1 i
2!
2
3
i
3!
3
4
i
4!
Запишем формулу Маклорена для функции
где x i :
e
i
i
1 i
2!
2
i
3!
3
i
4!
4
5
4
i
5!
5
...
x
e ,
i
5!
5
...

18.

Из равенства правых частей следует:
i
e cos i sin
формула Эйлера.
По формуле Эйлера из (Т) следует
(П)
z re
i
показательная форма записи z .

19.

Обозначения.
z r
arg z

20.

Следствия.
Комбинируя
i
e cos i sin ,
i
e cos i sin cos i sin ,
получим
i
i
e e
cos
2
i
i
e e
sin
2i

21.

Пример z 2 i 2
. это число в трёх формах, дать геометрическую
Записать
интерпретацию.
Решение.
(А)
x
(П)
2 i 2;
2; y 2;
z
(Т)
z
2 2 2; tg 1; ;
4
z 2(cos i sin )
4
4
z 2e
i
4

22.

Операции над комплексными числами
в тригонометрической и показательной
формах.
Рассмотрим
z1 r1 (cos 1 i sin 1 ); z2 r2 (cos 2 i sin 2 );
i 1
i 2
z1 r1e ; z2 r2 e ;
Умножение:
z1
z2 r1r2 e
i 1
i 2
e r1 r2 e
z1 z 2 r1r2 e
i ( 1 2 )
;
i ( 1 2 )
z1 z 2 r1r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )

23.

Деление:
z1 r1 i ( 1 2 )
e
z 2 r2
z1 r1
cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )
z 2 r2

24.

Возведение в целую степень:
z re
i
n in
z r e
n
z r (cos n i sin n )
n
Так как
e
in
n
e i cos i sin
e
i n
cos i sin
cos i sin
n
n
cos n i sin n
формула Муавра.

25.

Извлечение корня
(обратное возведению в степень):
z re
n
i
z
re
n
re
i
i ( 2 k )
2k
n
Здесь k может принимать все возможные целые значения, но
различных (неодинаковых) корней будет только n и они будут
соответствовать числам k=0,1,2,3,…,(n-1):

26.

i
n
z0 n re ;(k 0)
z1
z2
n
n
re
re
и т.д.
2
i
n
n
; ( k 1)
2
i
2
n
n
; ( k 2)

27.

Замечание.
Числа z0, z1,…, zn-1 имеют одинаковый модуль
n
r
им соответствуют точки на окружности
радиуса n r .

28.

Пример.
4
i ?
y
Решение.
Обозначим
4
z e
z i;
4
i
x
i 2 k
2
i e
i
2
, k 0,1, 2, 3.
Различных значений - четыре:
z0 e
i /4
2
z2 e
i
8
e ;
i
8
;
z1 e
z3 e
i
8 2
;
i
3
8 2
;
e
i 2 k
2

29.

z1
z0
z2
z3