урок 4. Независимость событий

1.

Независимость событий
9 класс. Вероятность и статистика

2.

Что такое независимые
события?
Определение
События независимы, если наступление одного не изменяет
вероятность другого

3.

Формула независимых
событий
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Вероятность пересечения независимых событий равна
произведению их вероятностей

4.

Как определить
независимость?
01
Анализ опыта
Изучаем организацию случайного эксперимента
02
Проверка влияния
Определяем, влияет ли одно событие на другое

5.

Задания: уровень 1
1
Студент сдает два
2
В школе проводят два
3
Ученик выполняет два
независимых теста.
независимых экзамена.
независимых задания.
Вероятность сдать первый
Вероятность получить
Вероятность правильно
тест 0,8, второй тест 0,7.
"отлично" на первом экзамене
решить первое задание 0,9,
Найдите вероятность сдать
0,6, на втором 0,5. Найдите
второе задание 0,8. Найдите
оба теста.
вероятность получить
вероятность правильно
"отлично" на обоих экзаменах.
решить оба задания.
Решения:

6.

Ответы: уровень 1
Студент сдает два
В школе проводят два
Ученик выполняет два
независимых теста.
независимых экзамена.
независимых задания.
Вероятность сдать первый тест
Вероятность получить
Вероятность правильно
0,8, второй тест 0,7. Найдите
"отлично" на первом экзамене
решить первое задание 0,9,
вероятность сдать оба теста.
0,6, на втором 0,5. Найдите
второе задание 0,8. Найдите
вероятность получить
вероятность правильно решить
"отлично" на обоих экзаменах.
оба задания.
Ответ: 0,3
Ответ: 0,72
P = 0,6 · 0,5 = 0,3
P = 0,9 · 0,8 = 0,72
Ответ: 0,56
P = 0,8 · 0,7 = 0,56

7.

Задания: уровень 2
1
В урне 5 белых и 3 черных
2
Стрелок попадает в цель с
3
Вероятность дождя в
шара. Шар вытаскивают,
вероятностью 0,8. Он
понедельник 0,3, во вторник
возвращают, перемешивают
делает два выстрела.
0,4. Найдите вероятность
и снова вытаскивают.
Найдите вероятность двух
того, что дождь будет и в
Найдите вероятность того,
попаданий.
понедельник, и во вторник.
что оба шара белые.
Решения:

8.

Ответы: уровень 2
В урне 5 белых и 3 черных
Стрелок попадает в цель с
Вероятность дождя в
шара. Шар вытаскивают,
вероятностью 0,8. Он делает
понедельник 0,3, во вторник
возвращают, перемешивают и
два выстрела. Найдите
0,4. Найдите вероятность того,
снова вытаскивают. Найдите
вероятность двух попаданий.
что дождь будет и в
вероятность того, что оба шара
белые.
Ответ: 25/64
P(белый) = 5/8
P = 5/8 · 5/8 = 25/64
понедельник, и во вторник.
Ответ: 0,64
P = 0,8 · 0,8 = 0,64
Ответ: 0,12
P = 0,3 · 0,4 = 0,12

9.

Задания: уровень 3
1
Три ученика независимо
2
Студент сдает 4
3
Два независимых
сдают контрольную работу.
независимых теста.
устройства работают с
Вероятности получить
Вероятность сдать каждый
надежностью 0,95 и 0,98.
положительную оценку: 0,7;
тест 0,8. Найдите
Найдите вероятность того,
0,8; 0,9. Найдите вероятность
вероятность сдать все
что оба устройства будут
того, что все трое получат
четыре теста.
работать исправно.
положительные оценки.
Решения:

10.

Ответы: уровень 3
Три ученика независимо сдают
Студент сдает 4 независимых
Два независимых устройства
контрольную работу.
теста. Вероятность сдать
работают с надежностью 0,95
Вероятности получить
каждый тест 0,8. Найдите
и 0,98. Найдите вероятность
положительную оценку: 0,7;
вероятность сдать все четыре
того, что оба устройства будут
0,8; 0,9. Найдите вероятность
теста.
работать исправно.
Ответ: 0,4096
Ответ: 0,931
P = (0,8)⁴ = 0,4096
P = 0,95 · 0,98 = 0,931
того, что все трое получат
положительные оценки.
Ответ: 0,504
P = 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,504

11.

Задания: уровень 4
1
Вероятность того, что
2
Из двух урн независимо
3
Завод выпускает детали,
студент сдаст экзамен по
вытаскивают по одному шару.
95% которых качественные.
математике 0,9, по физике
В первой урне 6 красных и 4
Выбирают 3 детали.
0,8. Найдите вероятность
синих шара, во второй 7
Найдите вероятность того,
того, что он сдаст оба
красных и 3 синих. Найдите
что все три детали окажутся
экзамена.
вероятность вытащить два
качественными.
красных шара.
Решения:

12.

Ответы: уровень 4
Вероятность того, что студент
Из двух урн независимо
Завод выпускает детали, 95%
сдаст экзамен по математике
вытаскивают по одному шару.
которых качественные.
0,9, по физике 0,8. Найдите
В первой урне 6 красных и 4
Выбирают 3 детали. Найдите
вероятность того, что он сдаст
синих шара, во второй 7
вероятность того, что все три
оба экзамена.
красных и 3 синих. Найдите
детали окажутся
вероятность вытащить два
качественными.
Ответ: 0,72
P = 0,9 · 0,8 = 0,72
красных шара.
Ответ: 21/50 = 0,42
Ответ: 0,857375
P₁ = 6/10 = 3/5,
P = (0,95)³ = 0,857375
P₂ = 7/10
P = 3/5 · 7/10 = 21/50

13.

Домашнее задание

14.

Творческое задание на дом
Работа в группах
Составьте задачу
Придумайте реальную
жизненную ситуацию с
тремя независимыми
событиями
Определите вероятности и
найдите вероятность
наступления всех событий
Презентация
Представьте свою задачу классу с решением

15.

Пример творческого задания
Ситуация: Утро школьника
Вероятность проспать - 0,1
Вероятность забыть домашнее задание - 0,15
Вероятность опоздать на автобус - 0,2
Задача: Найдите вероятность того, что школьник проспит,
забудет домашнее задание и опоздает на автобус.
Решение: P = 0,1 · 0,15 · 0,2 = 0,003

16.

Подведём итоги
Умение
Определять независимость
Новое знание
событий по условию задачи
Формула независимых событий:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Рефлексия
Что было сложным? Какие
вопросы остались?