Сложение и умножение вероятности событий

1. Сложение и умножение вероятности событий

1. Сумма событий
2. Произведение событий
3. Примеры решения задач

2. Сложение событий

Суммой событий А и В называется
событие А + В, которое наступает тогда и
только тогда, когда наступает хотя бы одно
из событий: А или В.
Пример:
А – извлечь из колоды даму
В – извлечь из колоды карту пиковой масти
А+В – извлечь из колоды даму или карту
пиковой масти

3. Совместные и несовместные события

Два события А и В называются
несовместными, если они не могут
наступить одновременно
Пример: А – извлечь карту пиковой масти
В – извлечь карту бубновой масти
Два события А и В называются
совместными, если они могут наступить
одновременно
Пример: А – извлечь карту пиковой масти
В – извлечь из колоды даму

4. Вероятность суммы событий

Вероятность появления одного из двух
несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий.
Вероятность суммы совместных событий
вычисляется по формуле
Где АВ – совместный исход

5. Пример

Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна
карта. Найти вероятность того, что это будет
карта пиковой масти или туз.
Решение.
А – извлечь карту пиковой масти или туза.
Это событие сложное и является суммой двух
событий: А1 – извлечь карту пиковой масти, А2 –
извлечь туза. Кроме того это два совместных
события, так как возможно наступление их
одновременно АВ – извлечь туза пик. Получим:
p( A) p( A1 ) p( A2 ) p( A1 A2 )
9
4 1 12 1
p( A)
36 36 36 36 3

6. Следствие

Событие A называется
противоположным к событию А, если оно
заключается в том, что событие А не
наступает.
Пример: А – попасть в мишень
A - не попасть в мишень.
Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице
P( A) P( A ) 1
Пример. Если стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6, то не попадает
с вероятностью 0,4

7. Умножение событий

Произведением событий А и В называется
событие АВ, которое наступает тогда и
только тогда, когда наступают оба события:
А и В одновременно.
Пример:
А – извлечь из колоды даму
В – извлечь из колоды карту пиковой масти
АВ – извлечь из колоды даму и карту
пиковой масти, то есть извлечь даму пик.

8. Зависимые и независимые события

• События событий А и В называются
независимыми, если появление одного
из них не меняет вероятности
появления другого. Событие А
называется зависимым от события В,
если вероятность события А меняется в
зависимости от того, произошло
событие В или нет.

9. Пример

• Независимыми событиями являются:
подбрасывание монетки, кубика, стрельба по
мишени, извлечение карты при условии, что она
возвращается в колоду.
• Зависимыми событиями являются:
извлечение карты из колоды, если она туда не
возвращается.
Вероятность извлечь первого туза постоянна и
равна 4/36, а вероятность извлечь второго туза
зависит от того, какая карта была первой: если
это был туз, то второй туз извлекается с
вероятность. 3/35, а если был не туз, то с
вероятностью 4/35

10. Теорема об умножении

• Вероятность произведения независимых
событий А и В вычисляется по формуле:
• Вероятность произведения двух событий
равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое
событие уже наступило
P( AB) P( A) P( B / A) P( A) PA ( B)

11. Появление хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного
из событий А1, А2, …, независимых в
совокупности, равна разности между
единицей и произведением вероятностей
противоположных событий
p( A) 1 p( A1 ) p( A2 ) ...

12.

Примеры решения задач

13. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти

вероятность того, что:
а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Решение.
А – только один стрелок попадет в мишень
p( A) 0,8 0,4 0,2 0,6 0,44
В – хотя бы один стрелок попадет в мишень
B
- ни один не попадет
p( B ) 0,2 0,4 0,08
p( B) 1 0,08 0,92

14. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить

не менее чем на 2 из 3
вопросов?
Решение
А - ответить не менее чем на 2 из 3 вопросов
Это означает, что студент должен ответить только на
2 или на все три вопроса.
25 24 35 25 35 24 35 25 24 25 24 23
p( A) 0,37
60 59 58 60 59 58 60 59 58 60 59 58

15.

Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно
вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что
среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая
или одна червонная карта.
Решение
А – извлечь хотя бы одну бубновую или червонную карту
A - не извлечь ни одной бубновой и ни одной червонной
карты
26 25 24 23
p( A )
0.0552
52 51 50 49
p ( A) 1 0.0552 0,9448

16.

Задачи для самостоятельного решения

17.

Для сигнализации о возгорании
установлены два независимо
работающих датчика. Вероятности того,
что при возгорании датчик сработает,
для первого и второго датчиков
соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти
вероятность того, что при пожаре:
а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают;
в) при пожаре сработает только один
датчик.
Ответ: а) 0,15
б) 0,35
в) 0,5

18.

На карточках написаны буквы
А А А Н Н С. Одна за другой
вынимаются карточки и
прикладываются друг к другу.
Найти вероятность того, что
получится слово АНАНАС.
Ответ: 1/60

19. В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одного цвета?

Ответ: 0,5

20.

В урне 9 белых и 7 чёрных
шаров. Из урны вынимают
(одновременно или
последовательно) два шара.
Найти вероятность того, что оба
шара будут белыми.
Ответ: 0,3