Теорема умножения вероятностей независимых событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Следствия теорем сложения

1.

Теорема умножения вероятностей
независимых событий. Теорема
умножения вероятностей зависимых
событий. Следствия теорем
сложения и умножения
вероятностей

2.

Сложение и умножение вероятностей
Чем более трудной является задача
определения при помощи рассуждений того,
что кажется неопределенным и подчиненного
случаю, тем более наука, которая достигает
результата, представляется удивительной
Х. Гюйгенс
(1629 — 1695)
1655 г. - Открывает кольцо и спутник Сатурна
1657 г. - Трактат «О расчетах при игре в кости» - 1-ое
научное сочинение по теории вероятностей
1668 г. - Теория соударения тел
1673 г. - Сочинение «Маятниковые часы»
1678 г. - «Трактат о свете»

3.

4.

5.

Вероятности противоположных событий:
Р А Р А 1
Р А 1 Р А
Формула сложения вероятностей для совместных событий:
Р А В Р А Р В Р А В
Формула сложения для несовместных событий:
Р А В Р А Р В
Формула умножения вероятностей:
Р А В Р А Р В | A
Условная вероятность В
при условии, что А
наступило
Формула умножения вероятностей для независимых событий
(наступают одновременно):
Р А В Р А Р В
События называются независимыми, если появление одного их них
не зависит от появления другого (других).

6.

Задача 1.
Найти вероятность того, что из колоды, содержащей 36
карт, вынут туз или пиковую масть.
Решение
А — «вытащили туз»
В — «вытащили пиковую масть».
А В — «вытащили пиковый туз»
Р А В Р А Р В Р А В
4 1
Р А
36 9
9 1
Р В
36 4
4
9
1 12 1
Р А В
36 36 36 36 3
Ответ: 1/3

7.

Задача 2.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в
мишени, а последние два раза промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Решение:
Вероятность попадания = 0,8
Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2
А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся}
По формуле умножения вероятностей
Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2
Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02
Ответ: 0,02

8.

Задача 3.
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один
автомат исправен.
Решение:
А={хотя бы один автомат исправен}
А оба автомата неисправны
По формуле умножения вероятностей:
Р А 0,05 0,05 0,0025
Р А 1 Р А 1 0,0025 0,9975
Ответ: 0,9975

9.

Задача 4.
В первой урне находятся 7 белых и 4 черных шара, во
второй — 6 белых и 3 черных шара. Из каждой урны
извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что
оба шара белые?
Решение:
А — «из первой урны извлечен белый шар»
В — «из второй урны извлечен белый шар»
А В — «оба шара белые»
P(A) = 7/11
P(B) = 2/3
События А и В независимы, применив теорему умножения:
7 2 14
Р А В Р А Р В
11 3 33
Ответ: 14/33

10.

Задача 5.
Прибор состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность выхода из строя первого элемента 0,2; второго —
0,3; третьего — 0,2. Какова вероятность того, что:
а) все три элемента выйдут из строя;
б) все элементы будут работать.
Решение:
А1 — «первый элемент вышел из строя»
А2 — «второй элемент вышел из строя»
А3 — «третий элемент вышел из строя»
События А1,А2,А3 независимы
Р(А1) = 0,2; P(А2) = 0,3; P(А3) = 0,2.
а) Р(А1 А2 А3) = Р(А1)∙Р(А2)∙Р(А3) = 0,2∙0,3∙0,2 = 0,012
б) Р А1 А2 А3 0,8 0,7 0,8 0,448

11.

Задача 6.
В магазине стоят три платежных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,1. Найдите
вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:
А={хотя бы один автомат исправен}
А три автомата неисправны
По формуле умножения вероятностей:
Р А 0,1 0,1 0,1 0,001
Р А 1 Р А 1 0,001 0,999
Ответ: 0,999

12.

Задача 7.
В интернет-магазине три телефонных оператора. В случайный
момент оператор занят разговором с клиентом с
вероятностью 0,7 независимо от других. Клиент звонит в
магазин. Найдите вероятность того, что в этот момент хотя
бы один оператор не занят.
Решение:
А={хотя бы один оператор не занят}
А три оператора заняты
По формуле умножения вероятностей:
Р А 0,7 0,7 0,7 0,343
Р А 1 Р А 1 0,343 0,657
Ответ: 0,657

13.

Задача 8.
В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке
физкультуры класс случайным образом разбивают на 3
равные группы . Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша
попали в одну группу.
Решение:
21:3 = 7 – количество учеников в одной группе
7
21
Вероятность того, что Тоша попадет в 1-ую группу
7 1
6
Вероятность того, что Гоша
21 1 20 попадет в ту же группу
Вероятность того, что Тоша и
7 6
0,1
Гоша попадут в 1-ую группу
21 20
Всего групп 3
P = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3
Ответ: 0,3

14.

Задача 9. В классе 28 учащихся, среди них Наташа и Владик брат и сестра. Для проведения медосмотра класс случайным
образом разбивают на 2 равные группы. Найти вероятность
того, что Владик и Наташа попали в разные группы.
Решение:
28:2 = 14 – количество учеников в одной группе
14 1
Вероятность того, что Наташа попадет в 1-ую группу
28 2
14
14 Вероятность того, что Владик
28 1 27 попадет во 2-ую группу
Вероятность того, что Наташа
попадет 1-ю, а Владик во 2-ую
группу
2-ой случай: Наташа во 2-ую, Владик в 1-ую группу
7
7 14
1 14 7
2 27 27
Р
27
27
27
Ответ: 14/27

15.

Задача 10. В группе иностранных туристов 51 человек. Среди
них два испанца. Для посещения музея группу делят на две
подгруппы – 25 и 26 человек – случайным образом. Найти
вероятность того, что оба испанца окажутся в одной
подгруппе.
Решение:
Р ( А)
25 24 12 Вероятность, что оба испанца окажутся в I
51 50 51 подгруппе
Р( В)
26 25 13 Вероятность, что оба испанца окажутся во
51 50 51 II подгруппе
Р(C ) Р( A) Р( B)
12 13 25
51 51 51
Вероятность, что оба испанца окажутся в I
или во II подгруппе
Ответ: 25/51