лекция 4

1. ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ИНЖЕНЕРЛІК-ТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ИНЖЕНЕРЛІКТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Лекция тақырыбы:
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін (САТЖ)
Жордан –Гаусс әдісімен шешу.
Лектор: Утегалиева Фазила

2.

Өткен тақырып бойынша мына сұрақтарға жауап
беріңіз :
1)Бұған дейін теңдеулер жүйелерін шешудің қандай
әдістері қарастырылды?
2) Ол әдістерде жүйелерге қандай шектеу қойылады?
3)Матрицаның рангі деген не?

3.

Жалпы түрдегі сызықтық теңдеулер жүйелері.
n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесі мына түрде
жазылады:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
.....................................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
(1)
Жалпы алғанда, m n. Бұл жерде x x x белгісіз шамалар,
1, 2 ,...,
aij i 1, m , j 1, n
n
коэффиценттер мен bi i 1, m бос мүшелер белгілі
нақты сандар.

4.

(1) жүйенің кем дегенде бір шешімі болса, оны үйлесімді
жүйе дейді, ал бірде-бір шешімі жоқ жүйені үйлесімсіз деп
атайды.
Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, оны
анықталған жүйе деп, ал шешімдер саны біреуден артық
болса, оны анықталмаған жүйе деп атайды.
(1) жүйенің b b b бос мүшелерінің кем дегенде бірі нөлден
өзге болса, ол біртекті емес жүйе деп, ал бос мүшелерінің
барлығы да нөлге тең болса, ол біртекті жүйе деп
аталады.
1, 2,...
n

5.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулері
дегеніміз мыналар:
(1) теңдеудің екі жақ бөлігін де нөлден өзге санға көбейту;
(2) бір теңдеудің нөлден басқа өзге санға көбейтілген екі
жақ бөлігіне де екінші теңдеудің сәйкес бөліктерін қосу;
(3) теңдеулердің орындарын ауыстыру;
(4) 0 x1 0 x2 ... 0 xn 0 түріндегі теңдеуді сызып тастау
Элементар түрлендірулерден пайда болатын жүйелер
пара-пар (немесе эквивалент ) болады

6.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы
төмендегі теоремаға негізделеді
Кронеккер-Капелли теоремасы
Леопольд Кронекер (1823-1891) неміс математигі
Альфредо Капелли (1855-1910)-итальян математигі
(1) жүйе үйлесімді болу үшін r A r A теңдігі орындалуы қажетті
және жеткілікті, мұндағы
қарастырылып отырған жүйенің кеңейтілген матрицасы.
Ескерту. Егер r A r A n болса, онда (1) анықталған жүйе, ал
r A r A n болса, онда (1) анықталмаған жүйе.

7.

Жордан-Гаусс әдісі
Сонымен,(1) жүйені қарастырайық.
Айқындық үшін, a 0 деп алайық та осы коэффициентті бірінші
басты элемент деп атайық.
Енді (1) жүйені бірінші басты элемент 1-ге айналатындай етіп,
ал белгісіз x ден бірінші басты теңдеуден өзге теңдеулер
арылатындай етіп түрлендіреміз. Ол үшін бірінші басты теңдеудің
екі жақ бөлігін де a ге бөлеміз. Содан кейін осы табылған
теңдеудің екі жақ бөлігін a ге көбейтіп, екінші теңдеудің сәйкес
бөліктеріне қосамыз. Әрі қарай, басты теңдеудің екі жақ бөлігін
a ге көбейтіп, үшінші теңдеудің сәйкес бөліктеріне қосамыз,
т.с.с.
11
1
11
21
31

8.

Енді a 0 дейік те, (2) жүйені x белгісіздің коэффициенті бірге
айналатын етіп, ал x белгісізден екінші басты теңдеуден өзге
теңдеулер арылатындай етіп, түрлендіреміз. Ол үшін
алдымен екінші басты теңдеудің екі жақ бөлігін де басты a
элементке бөлеміз. Содан кейін осы табылған теңдеулердің
екі жақ бөлігін де мына элементтерге a , a ,..., a көбейтіп,
бірінші, үшінші, …m-інші теңдеудің сәйкес бөліктеріне
қосамыз.
22
2
2
22
12
32
m2

9.

Нәтижесінде (2) жүйе мына жүйеге түрленеді:
x a x ... a x b
1
1n n
13 3
1
x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
................................
xn bm
am 3 x3 ... amn
(3)
Мынадай жағдайлар болуы мүмкін.
Белгілі бір қадам санынан кейін 0 x 0 x ... 0 x b, b 0 түріндегі
теңдеу шығады, олай болса бұл теңдеу, онымен бірге (1) жүйе
үйлесімсіз
1
2
n

10.

1) (1) жүйе «үшбұрыш» түріне келтірілген болып
шықты.
1
x1
2
x2
3
x3
(4)
............................
xп n
Сонда , ,..., сандарының жиыны осы жүйенің және
онымен пара-пар (1) жүйенің де бірден-бір шешімі болады.
Демек, (1) жүйе анықталған жүйеге жатады
1
2
n

11.

3 (1) жүйе «трапеция» түріне келтіріледі:
x1 ...
~
a~1 r 1 xr 1 ... a~1n xn b1
~
x2 ... a~2 r 1 xr 1 ... a~2 n xn b2
......................................
( 5)
~
xr a~r r 1 xr 1 ... a~rn xn br
ке тең, мұндағы r m, өйткені 0 x 0 x ... 0 x 0 түріндегі теңдеулер
пайда болып, олар сызылып тасталуы мүмкін.
Бұл тұста белгісіздерден арылу процесінде басты элементтердің
ролін атқарып отырған алқашқы r белгісіздерді x , x ,..., x базистік
белгісіздер деп атайды. Ал қалған n r белгісіздерді x , x ,..., x бос
белгісіздер деп атайды. Белгісіздерге қалауымызша алынған
мәндер бере отырып, (5) жүйеден базистік белгісіздердің сәйкес
мәндерін табамыз
r
1
2
n
1
2
r
r 1
r 2
n

12.

~
x1 b1 a~1( r 1) r 1 ... a~1n n ,
~
x b a~
... a~ ,
2
2
2 ( r 1)
r 1
2n
n
~
xr br a~r ( r 1) r 1 ... a~rn n .
Бұл жағдайда жүйенің шексіз көп шешімі бар, демек, ол
анықталмаған жүйе.
Бос белгісіздердің нөлдік мәндеріне сәйкес келетін , ,..., ,0,0,0
шешім базистік деп аталады.
1
2
m
1.Ескерту. Егер (1) жүйеде белгісіздерден арылу процесінде
белгісіздердің нумерациясы өзгерген болса, онда соңғы жауапта
белгісіздердің бастапқы нумерациясына ауысу қажет.
2.Ескерту. Жордан-Гаусс әдісін іс жүзінде қолданғанда түрленген
жүйені әр жолы көшіріп жазудың қажеттілігі жоқ. жүйенің
кеңейтілген матрицасын көшіріп жазып, оның жолдарын
элементар түрлендіру қажет.

13. Назарларыңызға рахмет!