Свойства определителей

1. Свойства определителей

1) При транспонировании матрицы ее определитель не
меняется.
|A| = |AТ|
2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель
меняет знак.
3) Общий множитель элементов любой строки (столбца)
можно выносить за знак определителя.
Пропустить 5 клеточек
4) Если все элементы k-й строки определителя |A| являются
суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух
определителей |A1| и |A2|: у первого в k-ой строке первые
слагаемые, у второго в k-ой строке - вторые слагаемые.
Пропустить 5 клеточек

2.

A 1a1 2 a2 ... n an
Пропустить 5 клеточек
6) Определитель не изменится, если к каждому элементу i-й
строки (столбца) прибавить соответствующий элемент k-й
строки (столбца), умноженный на число α 0.
Пропустить 10 клеточек
Замечание. Определитель треугольной матрицы равен
произведению диагональных элементов главной диагонали

3.

7) Если A и B – квадратные матрицы порядка n , то
существует AB и BA, причем |AB|=|BA|=|A|·|B|.
Опр. Квадратная матрица, определитель которой отличен от
нуля, называется невырожденной.

4. Теорема Лапласа и ее следствие

Пусть A = (aij) – матрица размера m×n.
Выберем в A произвольно k строк: i1, i2, …, ik
и k столбцов: j1, j2, …, jk .
A
a11
a12 ...
a1 j1
a1 j2
... a1 jk
...
a1n
.
ai11
.
.
.
.
ai1 2 ... ai1 j1
ai1 j2
.
... ai1 jk
.
ai1n
ai2 1
ai2 2 ... ai2 j1
ai2 j2
... ai2 jk
.
... aik jk
...
.
... anjk
.
...
.
aik 1
.
.
.
aik 2 ... aik j1
aik j2
.
an1
.
an 2
.
.
an j1
an j2
ai2 n
.
aik n
.
ann

5.

Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов
составим определитель Mk :
ai1 j1 ai1 j2 ai1 jk
ai2 j1 ai2 j2 ai2 jk
Mk
aik j1 aik j2 aik jk
Определитель Mk называют минором k-го порядка матрицы A.
Частные случаи:
а) любой элемент матрицы – минор первого порядка;
б) определитель квадратной матрицы порядка n – ее минор
порядка n.
Определитель Mk*, составленный из оставшихся элементов матрицы A,
называется дополнительным минором к минору Mk.
пропустить 15 клеточек

6.

Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n.
Выберем в A минор первого порядка Mk =|аij|
(строка i, столбец j).
Вычеркнем из матрицы A строку i, столбец j.
Определитель Mk*, - дополнительный минор элемента aij
(его обозначают Mij ).
Число Aij = (–1)i+j · Mij называется алгебраическим дополнением
элемента aij .
пропустить 15 клеточек

7.

СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Лапласа). Определитель равен сумме
произведений всех элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения, т.е.
разложение определителя
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
по строке
|A|=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
по столбцу
пропустить страницу
СЛЕДСТВИЕ 2 (теоремы Лапласа). Сумма произведений
элементов
i-й строки (столбца) определителя на
алгебраический дополнения соответствующих элементов k-й
строки (столбца) этого определителя равна нулю. Т.е.
ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=0
a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0
Доказать самостоятельно

8.

Обратная матрица.
ОПР. Обратной к матрице A называется
обозначаемая A-1, такая, что A·A-1=A-1 · A=E.
матрица,
СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
1) Если матрица A имеет обратную, то A и A-1 – квадратные
одного порядка.
2) Если A-1 существует, то она единственная.
3) Если матрица A имеет обратную, то определитель
матрицы A отличен от нуля.
пропустить 10 клеточек

9.

Теорема (Построение А-1).
Пусть A – квадратная матрица и |A|≠0. Тогда
1
A 1
ST
A
где SТ – союзная матрица для матрицы A. Строится из
алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е.
A11
A
12
T
S
A1n
пропустить 20 клеточек
A21
A22
A2 n
An1
An 2
Ann
Нахождение решения с помощью обратных матриц называют
матричным методом решения системы.
пропустить 1 страницу

10. Метод Крамера

ТЕОРЕМА (Крамера).
Если в системе линейных уравнений число уравнений m и
число неизвестных n совпадает и |A| 0, то система
совместна и имеет единственное решение, которое может
быть найдено по формулам
Di
xi
(i 1, 2, n)
(2)
D
где D=|A|, а Di– определитель, получаемый из определителя
D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов.
Формулы (2) называются формулами Крамера.
пропустить 30 клеточек