НЛДУ ВП с правой частью специального вида. Лекция 5

1. ДУиЧМ

Лекция 5
НЛДУ ВП с правой частью
специального вида

2.

Метод подбора частного решения НЛДУ
с п/к по виду правой части
Пусть L[y] = f(x) – НЛДУ с п/к,
где
– квазиполином,
причём , R,
– многочлены.
2

3.

Тогда частное решение НЛДУ ищется в виде
где , – известные числа,
– многочлены степени k = max(m, n) с
неопределёнными коэффициентами, которые
находятся из данного дифференциального уравнения;
r − кратность корня + i среди корней
характеристического уравнения ОЛДУ с п/к
соответствующего НЛДУ (показывает сколько раз
число + i совпадает с корнем характеристического
уравнения λ).
3

4.

Рекомендации к подбору частного решения НЛДУ
сведены в таблицу
4

5.

Пример. Решить уравнение у'''−у"=ех.
5

6.

Теорема (о суперпозиции решений)
Пусть Ln[y] = f1(x) + f2(x).
Функция y1(x) – решение НЛДУ Ln[y1] = f1(x),
y2(x) – решение НЛДУ Ln[y 2] = f2(x).
Тогда y1(x) + y2(x) – решение НЛДУ Ln[y] = f1(x)+f2(x).
(Доказательство состоит в проверке того, что функция
y1(x) + y2(x)– решение исходного НЛДУ.)
Эта теорема справедлива и для большего количества
функций fi (x) (i = 1,…,n).
6

7.

Пример. y ўўў- y ўў= x - 1 + 2 Чcos x + e x . Решить задачу
Коши при начальных условиях у(0)=0, у'(0)=у"(0)=1.
7

8.

8