5.2.1 Частные производные

1.

Дадим аргументу х приращение Δх, а аргументу у
приращение Δу.
Тогда функция z получит значение
f ( x x, y y )
Величина
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
называется полным приращением функции в
точке (х,у).

2.

Если задать только приращение х или у, то
x z f ( x x, y) f ( x, y)
y z f ( x, y y ) f ( x, y )
- частные приращения функции.

3.

Полное приращение функции в общем случае
не равно суме частных приращений:
z x z y z

4.

Найти полное и частные приращения
функции
z x y

5.

x z ( x x) y x y
x y x y x y x y
y z x ( y y ) x y
x y x y x y x y

6.

z ( x x) ( y y ) x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
Действительно
z x z y z

7.

Частной производной функции нескольких
переменных по одной из этих переменных
называется предел отношения
соответствующего частного приращения
функции к приращению рассматриваемой
независимой переменной, при стремлении
приращения переменной к нулю.
z x , z y ,
z
,
x
z
,
y
f x ( xy),
f y ( xy)

8.

xz
f ( x x, y ) f ( x, y )
z x lim
lim
x 0 x
x 0
x
yz
f ( x, y y) f ( x, y)
z y lim
lim
y 0 y
y 0
y

9.

Из определения частной производной следует, что
для нахождения производной
z x
нужно считать постоянной переменную у, а для
нахождения производной z y
нужно считать постоянной переменную х.
При
нахождении
частных
производных
сохраняются
известные
ранее
правила
дифференцирования.

10.

Найти частные производные
функции
y
z x ln y
x

11.

z
y
z x
ln y 2
x
x
z x 1
z y
y y x

12.

Введем понятие частных производных второго
порядка.
Если частные производные
z
z x
x
и
z
z y
y
сами являются дифференцируемыми функциями,
то можно найти их частные производные,
которые называются частными производными
второго порядка:

13.

z
z xx f xx ( xy) 2
x
2
z
z yy f yy ( xy) 2
y
2

14.

Можно
также
производные:
определить
смешанные
z
z xy f xy ( xy)
x y
2
z
z yx f yx ( xy)
y x
2

15.

Если частные производные второго порядка
функции z=f(x,y) непрерывны в точке (х0,у0),
то в этой точке смешанные производные
равны:
f xy ( x0 , y0 ) f yx ( x0 , y0 )

16.

Вычислить частные производные
второго порядка функции
z 3x x sin y
2
в точке (1,0).

17.

z
z x
6 x sin y
x
z
z y
x cos y
y
z
z xx
6
2
x
z
z yy 2 x sin y
y
2 z
z xy
cos y
x y
2 z
z yx
cos y
y x
2
2

18.

z xx (1,0) 6
z yy (1,0) 0
z xy (1,0) 0
(1,0) 0
z yx