Функции нескольких переменных

1.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №7.
Функции нескольких переменных

2.

Будем предполагать, что в любом
многомерном пространстве можно задать
прямоугольную систему координат.
n
Точкой А n-мерного пространства R
называется упорядоченная совокупность n
действительных чисел.
A ( x1 , x2 ,..., xn ).
Расстояние между двумя точками можно
вычислять как длину вектора.
AB
( x1 y1 ) 2 ... ( xn yn ) 2 ,
где B ( y1 ,..., yn ).

3.

Совокупность всех точек n-мерного
пространства, в котором определено
расстояние, согласно последней формуле,
называется n-мерным арифметическим
евклидовым пространством и обозначается
n
R .

4.

Совокупность всех точек, до которых
расстояние от точки А не превысит
некоторого малого числа
называется
- окрестностью точки А.
Такая окрестность представляет собой в
общем случае шар с центром в точке А.

5.

Точка называется внутренней точкой
множества, если найдётся такая её
окрестность, которая будет содержаться в
этом множестве.
Множество, каждая точка которого
является внутренней, называется
открытым множеством.
Точка А называется предельной точкой
множества Х, если любая её окрестность
содержит хотя бы одну точку множества Х,
отличную от точки А.

6.

Множество, содержащее все свои
предельные точки, называется замкнутым.
Множество называется ограниченным,
если существует n-мерный шар, внутри
которого содержатся все точки данного
множества.

7.

Пусть каждому натуральному числу
поставлена в соответствие некоторая точка
пространства. Такое пронумерованное
множество называется
последовательностью точек пространства.
Точку А называют пределом
последовательности, если расстояние
между этой точкой и точками
последовательности уменьшается с
увеличением номера члена
последовательности и стремится к нулю.

8.

Теорема 1. Для того, чтобы
последовательность x ( m ) x1( m ) ,..., xn( m ) ,... m N
сходилась к точке A ( x1 , x2 ,..., xn ),
необходимо и достаточно, чтобы
lim xi( m) xi , i 1,2,..., n.
m

9.

Функции нескольких переменных
Большинство природных и экономических
процессов зависят не от одного фактора
(функция одной переменной), а от множества
факторов. В этой связи возникла
необходимость в рассмотрении функций
нескольких переменных. (Например величина
общественного продукта зависит от затраты
труда и объёма производственных фондов).

10.

Если некоторому набору упорядоченных
величин ( x1 , x2 ,..., xn ) из множества Х
поставить в соответствие одно определённое
значение переменной z, то говорят, что на
множестве Х задана функция n переменных
z f ( x1 ,..., xn ).
Множество Х является О.О.Ф.
Для удобства будем рассматривать
функцию двух переменных z f ( x, y ).

11.

Задача
Найти область определения и область
значений функции
z 4 x y .
2
2

12.

Задача
Решение: О.О.Ф.:
4 x 2 y 2 0 x 2 y 2 4.
Получается круг радиуса 2.
О.З.Ф.:
0 4 x y 2 z [0; 2].
2
2

13.

Функции нескольких переменных
Функцию двух переменных можно изобразить
графически в трёхмерной прямоугольной
системе координат в виде поверхности.
В предыдущем примере графиком функции
является верхняя полусфера радиуса 2.

14.

Функции нескольких переменных
Построение графика функции происходит
при помощи линий уровня, которые
образуются при пересечении поверхности с
плоскостями, параллельными координатным.
Линией уровня функции z f ( x, y )
называется множество точек на плоскости x0y,
для которых f ( x, y ) C.

15.

Число А называется пределом функции
z f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) , если для
любого 0 найдётся такая
окрестность точки M 0 , что для всех
x x0 , y y0 , удовлетворяющих неравенству
( x x0 ) ( y y0 ) ,
2
2
Выполняется неравенство
f ( x, y) A .
lim f ( x, y ) A - обозначение.
x x0
y y0

16.

Функция z f ( x, y ) называется
непрерывной в точке, если она определена в
этой точке и в некоторой окрестности этой
точки и имеет в этой точке предел, равный
значению функции в этой точке.

17.

Функции нескольких переменных
Теорема 2. Сумма, разность, произведение и
частное непрерывных в точке функций,
являются непрерывными функциями (в случае
частного знаменатель отличен от нуля).
Теорема 3. Непрерывная функция от
непрерывных функций является непрерывной.
Теорема 4. Всякая функция, непрерывная на
замкнутом ограниченном множестве
ограничена на этом множестве и достигает на
нём своих наибольшего и наименьшего
значений.

18.

Пусть функция определена в некоторой
окрестности точки M 0 ( x0 ; y0 ) . Частной
производной функции нескольких
переменных по одной из этих переменных
называется предел, если он существует,
отношения соответствующего частного
приращения функции к приращению
рассматриваемой независимой переменной
при стремлении этого приращения к нулю.

19.

Функции нескольких переменных
xz
f ( x x , y ) f ( x , y )
z lim
lim
;
x 0 x
x 0
x
yz
f ( x , y y ) f ( x , y )
'
z y lim
lim
.
y 0 y
y 0
y
'
x
z z
, .
x y

20.

Функции нескольких переменных
При нахождении частной производной,
например по х, только х считается переменной
величиной, все остальные «буквы» считаются
постоянными со всеми вытекающими
правилами нахождения производной
функции одной переменной.

21.

Задача
Пример. Найти частные производные
функции
2 x2 x
z ln xy e .
y

22.

Задача
Решение:
2x
y
2 xy
y
'
x
'
zx
e ; zy
2
x
2
2
xy
xy
y
2
2
x
2
y
.
2
x
y

23.

Функция z f ( x, y ) называется
дифференцируемой в точке ( x0 ; y0 ), если
существуют два таких числа А и В, что
z A x B y.
И в этом случае правая часть равенства
называется полным дифференциалом
функции двух переменных в точке
dz A x B y или
dz z dx z dy.
'
x
'
y

24.

При этом
z dx и z dy
'
x
'
y
называются
частными дифференциалами.

25.

Задача
Пример. Найти дифференциал той же
функции.
2 2x
x
y
2 xy 2
y
y
x
dz
e dx
2
2 x
2 x2
xy
xy
y
y
2
dy

26.

Функции нескольких переменных
Теорема 5. Если функция дифференцируема
в некоторой точке, то она в этой точке
непрерывна.
Теорема 6. Если функция в некоторой
окрестности точки имеет частные
производные, которые в самой точке
непрерывны, то функция в этой точке
дифференцируема.

27.

Функции нескольких переменных
Теорема 7. Если функция z f ( x, y )
дифференцируема в точке ( x0 ; y0 ) , а x и y в
свою очередь являются дифференцируемыми
функциями переменных u и v в точке (u0 ; v0 ) ,
причём x0 x(u0 ; v0 ); y0 y(u0 ; v0 ) , то сложная
функция z g (u , v) дифференцируема в точке (u0 ; v0 ),
а её частные производные вычисляются по
формулам
'
'
'
'
'
zu f x xu f y yu ,
z f x f y .
'
v
'
x
'
v
'
y
'
v

28.

Функции нескольких переменных
Рассмотрим производную функции одной
переменной, заданной неявно f ( x, y ) 0.
'
'
x
'
y
f
y
f

29.

Задача
Пример. Найти производную функции
y sin( xy ) x y .
3
3
3

30.

Задача
Решение: Составим функцию f
f sin( xy ) x y y
3
3
3
2
3
1 3
2
cos( xy ) y ( x y ) 3x
'
3
y
2
1 3
3
2
cos( xy ) 3 xy ( x y ) 3 1
3
3
3

31.

Задача
Пример. Найти частные производные
функции
ln( x y )
x
z sin
y
.

32.

Задача
Решение: Пусть
x
u sin ; v ln( x y ) z u v ;
y
x 1
x
x
'
u cos ; u y cos
2
;
y y
y y
1
1
v x'
; v 'y
;
x y
x y
'
x
x
zu' v u v 1 ln( x y )
sin
y
x
z u ln u
sin y
'
v
v
ln( x y )
ln( x y ) 1
;
x
ln
sin y
.

33.

Задача
Ответ:
x
z ln( x y ) sin
y
'
x
x
sin
y
ln( x y )
ln( x y ) 1
x 1
cos
y y
x 1
ln sin
;
y x y

34.

Задача
Ответ (продолжение):
x
z ln( x y ) sin
y
'
y
x
sin
y
ln( x y )
ln( x y ) 1
x x
cos 2
y y
x 1
ln sin
;
y x y

35.

Функции нескольких переменных
Частные производные первого порядка сами
могут иметь частные производные. Тогда:
2
z
''
z xx z 2
x
2
'
z
''
'
z yy z y y 2
y
' '
x x
2z
x y
2z
y x
z xy'' z
z 'yx' z
' '
x y
' '
y x
смешанные частные
производные

36.

Функции нескольких переменных
Таким же образом из этих частных
производных второго порядка можно
получить производные третьего порядка и т.д.

37.

Задача
Пример. Найти частные производные
второго порядка функции
z sin( x y ).
2
3

38.

Задача
Решение.
z x' cos( x 2 y 3 ) 2 xy3 , z 'y cos( x 2 y 3 ) 3 x 2 y 2
z xx'' sin( x 2 y 3 ) 2 xy3 2 xy3 cos( x 2 y 3 ) 2 y 3
z 'yy' sin( x 2 y 3 ) 3 x 2 y 2 3 x 2 y 2 cos( x 2 y 3 ) 6 x 2 y
z xy'' sin( x 2 y 3 ) 3 x 2 y 2 2 xy3 cos( x 2 y 3 ) 6 xy2
6 x 3 y 5 sin( x 2 y 3 ) 6 xy2 cos( x 2 y 3 )
z 'yx' sin( x 2 y 3 ) 2 xy3 3 x 2 y 2 cos( x 2 y 3 ) 6 xy2
6 x 3 y 5 sin( x 2 y 3 ) 6 xy2 cos( x 2 y 3 )

39.

Функции нескольких переменных
Смешанные частные производные одной и той
же функции, отличающиеся лишь порядком
(очерёдностью) дифференцирования, равны между
собой при условии их непрерывности. Это
свойство называется равенством смешанных
производных.

40.

Функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию z = f (x, y), определённую
в некоторой окрестности точки M ( x0 , y0 ).
Дадим аргументам такие приращения x, y ,
чтобы точка М переместилась в точку N ( x0 x, y0 y)
не произвольным образом,
а по направлению
некоторого вектора l . Тогда соответствующее
приращение функции называется
приращением
функции в направлении l .

41.

Функции нескольких переменных
y
y M
y
x
0
l
0
0
N
x
x

42.

Функции нескольких переменных
Косинусы углов, образованных вектором l
с положительными направлениями осей
координат, называют направляющими
косинусами.
cos , cos , cos (с осью Oz )
Сумма квадратов направляющих косинусов
равна единице.

43.

Производной функции z в точке M по
направлению l называется предел, если он
существует:
l z
z ( x0 , y 0 ) lim
l 0 l
f ( x0 l cos , y0 l cos ) f ( x0 , y0 )
lim
.
l 0
l
'
l

44.

Функции нескольких переменных
Если функция z дифференцируема в точке
М, то
z z ( x0 , y0 ) cos z ( x0 , y0 ) cos .
'
l
'
x
'
y
Если известны координаты вектора l то его
направляющие косинусы вычисляются по
формулам:
cos
lx
l x2 l y2
, cos
ly
l x2 l y2
.

45.

Функции нескольких переменных
Градиентом функции z называется вектор,
имеющий координаты
grad z ( z , z ).
'
x
'
y

46.

Задача
Пример. Найти производную функции
z x 2 y 3x y x
3
2
2
в точке М (1; 1) по направлению к точке N (-1; 2) и
градиент функции в точке М.

47.

Задача
Решение. Вектором l является вектор
MN ( 1 1; 2 1) ( 2; 1)
2
2
1
cos
, cos
5
5
( 2) 2 12
z x' 3 x 2 6 xy 1, z x' (1; 1) 8
z 4 y 3 x , z (1; 1) 1 grad z (1; 1) (8; 1)
'
y
2
'
y
1
17
2
z (1; 1) 8
.
( 1)
5
5
5
'
l

48.

Точка M ( x0 , y0 ) называется точкой
максимума (локального максимума)
функции z = f (x, y), если существует такая
окрестность точки М, что для всех других
точек N (x, y) из этой окрестности,
выполняется неравенство:
f ( x, y) f ( x0 , y0 ).
Аналогично для минимума ( > ).

49.

Функции нескольких переменных
Теорема (необходимое условие существования
экстремума). Если дифференцируемая функция
имеет экстремум в некоторой точке, то её частные
производные первого порядка в этой точке равны
нулю.
Точки из ООФ, в которых частные производные
первого порядка этой функции равны нулю (или
не существуют за исключением хотя бы одной)
называются критическими точками.

50.

Функции нескольких переменных
Теорема (достаточное условие существования
экстремума функции двух переменных). Пусть
функция z определена в некоторой окрестности
критической точки М и имеет в этой точке
непрерывные частные производные второго
порядка:
z (M ) A, z (M ) B, z (M ) C.
''
xx
Рассмотрим
''
xy
''
yy
A B
B C
.

51.

Функции нескольких переменных
Если этот определитель положителен, то в
критической точке функция достигает экстремума,
причём максимума, если А<0, минимума, если A>0.
Если определитель отрицательный, то
экстремума в критической точке нет.
Если определитель равен нулю, требуется
дополнительное исследование.

52.

Задача
Пример. Исследовать нам экстремум
z x 8 y 6 xy 3.
3
3

53.

Задача
Решение. Сначала найдём критические
точки (используя необходимое условие
существования экстремума) из системы:
z x' 0 3 x 2 6 y 0
x 2 2 y 0
'
2
2
z y 0 24 y 6 x 0 x 4 y
16 y 4 2 y 0 2 y (8 y 3 1) 0
2
2
x 4 y
x 4 y
M (0; 0), N (1; 0,5)

54.

Задача
Найдём частные производные второго
порядка:
z xx'' 6 x, z xy'' 6, z 'yy' 48 y.
Вычислим их значения в критической точке М:
А=0, В= -6, С=0. Запишем определитель
0
6
6
0
0, следовательно в точке М
экстремума нет.

55.

Задача
В точке N:
А=6, В= -6, С=24.
6
6
6
0, следовательно в точке N
24
функция достигает экстремума,
причём минимума, т.к. А=6 > 0.
zmin z (1; 0,5) 1 8 (0,5) 6 1 0,5 3 2.
3
3

56.

Функции нескольких переменных
Может оказаться, что у функции нескольких
переменных эти переменные не являются
независимыми друг от друга, а связаны
какими-то условиями. (Ситуация, типичная
для экономики).
Рассмотрим задачу нахождения экстремума
функции двух переменных z = f(x,y), при
дополнительном условии ( x, y ) 0. Это
условие называется уравнением связи, а сам
экстремум называется условным
экстремумом.

57.

Функции нескольких переменных
В простейших случаях нахождение
экстремума функции двух переменных может
свестись к нахождению экстремума функции
одной переменной, если уравнение связи
допускает выражение одной переменной
через другую. В более сложных случаях для
нахождения условного экстремума
применяется «Метод множителей Лагранжа».
Составляется вспомогательная функция
Лагранжа :
L f ( x, y ) ( x; y ),

58.

Функции нескольких переменных
Где:
z f ( x, y ) - исходная функция
( x, y ) 0
- уравнение связи
- неопределённый множитель
Лагранжа
Наша задача сводится к отысканию
экстремума функции трёх переменных
L ( x, y , )

59.

Функции нескольких переменных
Пользуясь необходимым условием
существования экстремума функции
нескольких переменных имеем систему:
L'x 0 f x' x' 0
'
'
'
L
0
f
y
y
y 0
'
0
L
0

60.

Функции нескольких переменных
Чтобы выяснить достигает ли функция в
критической точке условного экстремума,
достаточно выяснить значение определителя в
критической точке.
'
'
0
x
y
x'
L'xx'
L'xy'
y'
L'xy'
'
L'yy
Если это значение положительно, то в данной
критической точке функция достигает
условного максимума, если отрицательно, то условного минимума.

61.

Задача
Пример. Исследовать на экстремум
функцию
z 2 x 4 y 3 при условии x y 5.
2
2

62.

Задача
Решение.
L 2 x 4 y 3 ( x 2 y 2 5)
L'x 2 2 x, L'y 4 2 y
1
x
2 2 x 0
( 1; 2) при 1
2
4 2 y 0 y
(1; 2) при 1
x2 y 2 5
4
1
2 2 5

63.

Задача
Вычислим значение определителя в
критических точках:
'
L'xx
2 ,
'
L'yy
2 ,
'
L'xy
0
x' 2 x, y' 2 y
0
2x
2y
2x
2
0 8 y 2 8 x 2 8 ( x 2 y 2 ) 40
2y
0
2

64.

Задача
При 1 40 0 условный максимум в т.(1; 2)
При 1 40 0 условный минимум в т.( 1; 2)

65.

Функции нескольких переменных
Максимальное и минимальное значения
функции (глобальные экстремумы) в
замкнутой и ограниченной области следует
искать среди критических точек функции,
лежащих внутри области или на границе этой
области.

66.

Задача
Пример. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции z = 6x – 2xy + 4y в области,
заданной системой 1 x 4
2 y 4

67.

Задача
Решение: Найдём критические точки
функции
z 6 2 y, z 4 2 x
'
x
'
y
6 2 y 0
M (2; 3)
4 2 x 0
z (2;3) 6 2 2 2 3 4 3 12

68.

Задача
Изобразим заданную область и критическую
точку. Область представляет собой прямоугольник.
Критическая точка расположена внутри него.
M C
2 A
D
4
0 1 2
y
4
3
B
x

69.

Задача
Найдём теперь наибольшее и наименьшее
значения функции на границе области (на
каждой из сторон прямоугольника).
AB : x 1 z 2 y 6, y [2; 4] z [10;14]
CD : x 4 z 24 4 y, y [2; 4] z [8;16]
BC : y 4 z 16 2 x, x [1; 4] z [8;14]
AD : y 2 z 2 x 8, x [1; 4] z [10;16]

70.

Задача
Сравнивая все полученные результаты
видим, что наибольшее значение функции –
16, оно достигается в точке D(4; 2), наименьшее
– 8, в точке C(4; 4), в критической точке
функция не достигает своих наибольшего и
наименьшего значений.

71.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Конец темы