ЭБТ 4-дәріс

1.

Дәріс 4.
Фурье қатары.
Периодтық сигналдың спектрi.

2.

Фурье қатарының жалпы түрі
Периодтық сигналды гармоникалық құраушылардың
(косинусоидалардың) қосындысымен көрсетуге
болады.
Ол үшін оны Фурье қатарына жіктеу керек.
u(t)= Сk exp(jk 1t)
к
Т /2
Сk=1/T· u(t)·exp(-jk 1t) dt
Т / 2
Сk- қатардың коэффициенттері

3.

Фурье қатарының тригонометриялық түрі.
u(t)=а0/2+ [ak·Cos(k 1t)+bk·Sin(k 1t)]
к 1
Т /2
Т /2
Т /2
а0=2/T· u(t)·dt; аk=2/T· u(t)·Cos(k 1t)·dt; bk=2/T· u(t)·Sin(k 1t)·dt.
Т / 2
Т / 2
u(t)=U0+ Uk·Cos(k 1t - k)
к 1
U0=а0/2; Uk= ak2+bk2 ; k=arctg(bk/аk)
Т / 2

4.

а0, аk, bk- қатардың коэффициенттері;
1- негізгі (бірінші) құраушының жиілігі, рад/с;
k· 1- гармоникалардың жиіліктері, рад/с;
1=2 ·f1=2 /T, рад/с; Т- сигналдың қайталау периоды, с;
f1- сигналдың қайталау жиілігі, Гц;
U0- тұрақты құраушының мәні, В;
Uk- құраушылардың (гармоникалардың) амплитудалар, В;
k- құраушылардың бастапқы фазалар, рад.
U0 0; Uk 0; - k .

5.

Негізгі түсініктер мен анықтамалар
Сигналдың спектрі- қосқан кезде біздің сигналын беретін
гармоникалық құраушылардың (косинусоидалардың)
жиынтығы.
Спектрлік диаграммасы- жиілік өсінде, көрсетілген жиілігімен,
амплитудасымен және бастапқы фазасымен сигналдың
спектрдегі құраушылардың шартты суреті.
Құраушылар, оларға сәйкес жиіліктерде, олардың амплитудасы
және бастапқы фазасымен сызықтар көмегімен көрсетіледі.
Спектрлік диаграммасындағы бір сызығы- көрсетілген
жиілігі, амплитудасы және бастапқы фазасы болатын
косинусоидасына сәйкес.

6.

Тiк бұрышты бейне импульстер
периодтық тiзбегінің спектрі.
Сигналдың математикалық моделі
u(t)
U, - /2+kT t /2+kT; k=0, ±1, ±2 …
T
U
- /2 0 /2
u(t) =
t
Сигналдың уақыттық
диаграммасы
0, басқа уақыт интервалдарында
S=T/ - сигналдың қуыстылығы

7.

/2
а0=2/T· U·dt=2U /Т=2U/S;
/ 2
/2
/2
аk=2/T· U·Cos(k 1t)·dt=2U/(k 1Т)·Sin(k 1t)
/ 2
/ 2
=
=2U/(k )·Sin(k /S)
/2
/2
bk=2/T· U·Sin(k 1t)·dt= -2U/(k 1Т)·Cos(k 1t)
/ 2
/ 2
/2
= -U/(k )·Cos(k 1t)
/ 2
=0
=

8.

U0=а0/2=U/S, В
Uk= ak2+bk2 =ak=2U/(k )· Sin(k /S) =2U/S· Sin(k /S)/(k /S) , В
k= arctg(bk/аk)= arctg0. k=
0 рад, егер Sin(k /S) 0
рад, егер Sin(k /S)<0
Uk 0=2U/S ( =0 жиілігіндегі спектр ораушының мәні).
u(t)=U/S+ 2U/(k )· Sin(k /S) ·Cos(k 1t - k)
к 1

9.

U1=2U/ · Sin( /S) В; 1=0 рад;
U2=U/ · Sin(2 /S) В; 2=0 рад;
U3=2U/(3 )· Sin(3 /S) В; 3=0 рад; ...
...
US=2U/(S )· Sin( ) = 0 В;
US+1=2U/[(S+1) ]· Sin[(S+1) /S] В; S+1= рад;
...
U2S=U/(S )· Sin(2 ) = 0 В;
U2S+1=2U/[(2S+1) ]· Sin[(2S+1) /S] В; 2S+1= 0 рад.

10.

U, В; , рад
2U/S
U1;0
U2;0
спектрдің ораушысы
U/S
…
0 1 2 1
US+1; US+2; U2S+1;0 U2S+2;0
··
··
(S+2)· 1 2S 1 (2S+2)
· 1 3S 1
S 1
(S+1) 1
2 /
4 /
(2S+1) 1
Сигналдың спектрлік диаграммасы
, рад/с

11.

Мысал: Т=1 мс; =0,25 мс; U=1 В; S=4.
1=2 /(1·10-3)=2 ·103 рад/с=2 крад/с.
U0=0,25 В;
U4=0 В;
U1=0,45 В; 1=0 рад;
U2=0,32 В; 2=0 рад;
U3=0,15 В; 3=0 рад;
U5=0,09 В; 5= рад;
U6=0,106 В; 6= рад;
U7=0,06 В; 7= рад;

12.

U, В; , рад
0,5
0,45;0
0,32;0
0,25
0,15;0
0,09; 0,106; 0,06;
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 , крад/с
Сигналдың спектрлік диаграммасы

13.

Уақытта жылжыған сигналдың спектрі
u(t)
Сигналдың математикалық моделі
T
U
0
U, 0+kT t +kT; k=0,±1, ±2 …
Т Т+
t
Сигналдың уақыттық
диаграммасы
u(t)=
0, басқа уақыт интервалдарында
S=T/ - сигналдың қуыстылығы
Бұл /2 уақытқа жылжыған тік бұрышты бейне
импульстердің периодтық тізбегі

14.

а0=2/T· U·dt=2U /Т=2U/S;
0
аk=2/T· U·Cos(k 1t)·dt=2U/(k 1Т)·Sin(k 1t)
0
=
0
=U/(k )·Sin(2k /S)=2U/(k )·Sin(k /S)·Cos(k /S);
bk=2/T· U·Sin(k 1t)·dt= -2U/(k 1Т)·Cos(k 1t)
0
=U/(k )·[1-Cos(2k /S)]=2U/(k )·Sin2(k /S).
0
=

15.

U0=а0/2=U/S, В
Uk= ak2+bk2 =2U/(k )· Sin2(k /S)·Cos2(k /S)+Sin4(k /S) =
=2U/(k )· Sin(k /S) =2U/S· Sin(k /S)/(k /S) , В
k=arctg(bk/аk)=k /S.
k /S рад, егер Sin(k /S) 0
k=
k /S+ рад, егер Sin(k /S)<0
Uk 0=2U/S ( 0 кезіндегі спектр ораушының мәні).
u(t)=U/S+ 2U/(k )· Sin(k /S) ·Cos(k 1t - k)
к 1

16.

Алдында келтірілген мысал үшін
(Т=1 мс; =0,25 мс; U=1 В S=4).
1= /4;
2= /2;
3=3 /4;
5=5 /4+ = /4;
6=6 /4+ = /2;
7=7 /4+ =3 /4; ...
Уақытта жылжыған периодтық сигналдың спектрлік
диаграммасының жылжымаған сигналдың диаграммасынан
айырмашылығы- құраушылардың бастапқы фазаларында
ғана.

17.

Периодтық сигналдың спектрдің ені
Периодтық сигналдың спектрі шексіз (Фурье қатарындағы
құраушылардың саны- шексіз).
Бірақ, арналардың өткізу жолағы шектелген болғанымен және
бөгеттердің әрекетін азайту үшін, сигналдың спектрін шектеу керек.
Әдетте, спектрді шектеген кезінде, сигналдың энергиясына негізгі
салымын беретін қүраушыларды ғана есептейді (амплитудалар жеткілікті
үлкен құраушыларды).
Өмірде, тік бұрышты бейне импульстер периодтық тізбегінің спектрін
жиі ораушының бірінші рет нөлге тең жиілігімен шектейді. Бұл жиілік
интервалындағы құраушыларында сигнал энергиясының 90 % -ға дейін бар.
Ондайы, жеткілікті дәлділігімен сигналды қалпына келтіруге мүмкіндігін
береді (жеткілікті бұрмалану пайызымен).
Онда, шектелген спектрдің ені:
S 1= 2 / .

18.

Қорытынды.
1. Сигналдың спектрлік жіктеуі- бұл сигналды Фурье
қатарына жіктеу, яғни сигналды гармоникалық құраушылар
(косинусоидалар) көмегімен көрсету.
2. Спектрлік диаграммасындағы әр бір сызығы- бұл
спектрдегі гармоникалық құраушының (косинусоиданың)
шартты графикалық бейнесі.
3. Сигналдың спектрі- бұл қосқан кезде біздің сигналды
беретін гармоникалық құраушылардың (косинусоидалардың) жиынтығы.
4. Спектрлік диаграммасы- бұл сигналдың спектріндегі
гармоникалық құраушылардың (косинусоидалардың)
жиіліктерін, амплитудаларын және бастапқы фазаларын
көрсететін жиілік өсіндегі шартты графикалық бейнесі.

19.

5. Периодтық сигналдың спектрі- сызықтық
(сызықтардан тұрады) немесе дискреттік.
6. Периодтық сигналдың спектрдегі құраушылардың
жиіліктері- сигналдың қайталау жиілігіне еселі.
7. Спектр ораушының бір жапырақтағы құраушылардың
саны- тізбектің құыстылығына тең.
8. Жиіліктері сигналдың қуыстылығына еселі: kSω1
(2 k/ ) болатын құраушылардың амплитудаларынөлге тең.
9. Спектрдегі құраушылардың сызықтары- спектр
ораушының қисығына дәл кіреді.

20.

10. Тізбектің қуыстылығы өскен кезінде- спектріндегі
құраушылардың саны көбейеді, ал олардың амплитудалары
төмендейді.
11. Спектр ораушының нөлге тең болатын жиіліктерісигналдың импульстер ұзақтығына тәуелді:
ω(Uорау=0) = 2 k/ , k=1, 2, 3,...
12. Сигналдың шектелген спектрдің ені- сигналдың
импульстер ұзақтығына кері пропорциональді:
∆ω~2 / (∆f~1/ ).
13. Уақытта жылжыған сигналдың спектріндеқұраушылардың бастапқы фазалар ғана өзгереді.