11 класс

1.

Уравнения прямой и
плоскости в пространстве

2.

Цель обучения:
11.4.19 знать уравнение прямой и плоскости в
пространстве, составлять уравнение плоскости,
проходящей через данные три точки, определять
направляющий вектор- прямой заданный каноническим
уравнением

3. Повторим! Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая L проходит через данную точку М0(x0; y0; z0)
параллельно вектору: q m; n; p
Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в
том случае, если векторы
q m; n; p и
q
L
М0
М
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 коллинеарны
По условию коллинеарности двух векторов:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
Каноническое уравнение
прямой
q m; n; p - направляющий вектор прямой

4. Повторим! Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ; z1 ) и М2(х2; у2 ; z2 ).
q
М2
L М1
Тогда в качестве направляющего
вектора в каноническом уравнении
можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x x1
y y 1 z z1
y 2 n y1 z2 p z1
mx1
x2
Уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

5. Повторим! Параметрическое уравнение прямой

При решении многих практических задач используют
параметрическое уравнение прямой, которое получается из
канонического уравнения:
x x0 y y 0 z z0
t
m
n
p
x mt x0
y nt y 0
z pt z
0
x x0
m t
y y
0
t
n
z z0 t
p
Параметрическое уравнение
прямой

6. Повторим! Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax By Cz D 0
(1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы
Общее уравнение плоскости
одно отлично от нуля.
Пусть точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости:
Ax0 By 0 Cz0 D 0 (2)
Вычтем из уравнения (1) тождество (2):
A x x0 B y y 0 C z z0 0
Общее уравнение плоскости
(3)

7. Повторим! Общее уравнение плоскости

Произвольная точка М(x; y; z) лежит на
плоскости, если ее координаты
удовлетворяют уравнению (3):
N
М0
М
A x x0 B y y 0 C z z0 0
Уравнение (3) является условием
перпендикулярности двух векторов:
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 и
N A; B;C
Таким образом, точка М лежит в плоскости, если
M0M N .
Значит N перпендикулярен любому вектору, лежащему в
плоскости и, следовательно, самой плоскости.
Нормальный вектор
Общее уравнение плоскости называется полным,плоскости
если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.

8.

Подведи итог
• что узнал?
• чему научился?
• что осталось непонятным?
• над чем необходимо работать?