производная сложной функции

1.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Примеры:
1) y 3 x 2 x .
2
2) y sin x . y f ;
f sin x.
5
y f 5;
f 3 x 2 2 x.
3) y cos 2 x .
3
y cos f ;
f 2x .
3
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)

2.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Простая Производная
функция
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
xn
nx n 1
f n x
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
sin x
cos x
sin f x
cos f x f / x
cos x
sin x
cos f x
sin f x f / x
tgx
1
cos 2 x
tgf x
/
f
x
1
/
f x
2
cos f x
cos 2 f x
1
f / x
2
f x
f / x
2 f x

3.

Простая
функция
Производная
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной
функции

4.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая Производная Сложная
функция
простой
функция
функции
xn
nx
n 1
f n x
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
sin x
cos x
sin f x
1
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
cos f x f / x

5.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая Производная
функция
простой
функции
x
n
nx
Сложная
функция
Производная сложной
функции
x
n f n 1 x f / x
n 1
f
Пример: 1) y 2 x 1 .
4
n
y f ;
f 2 x 1.
4
3
/
3
3
y 2 x 1 4 2 x 1 2 x 1 4 2 x 1 2 8 2 x 1 .
/
4
/

6.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
1
x
1
2
x
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной
функции
1
f x
/
f
x
1
/
2
f x 2
f x
f x
1
Пример: 1) y
.
sin x
/
1
y ;
f
f sin x.
1
1
cos x
/
1
y
2 sin x 2 cos x 2 .
sin x
sin x
sin x
sin x
/

7.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая Производная
функция
простой
функции
Сложная
функция
1
x
f x
2 x
Пример: 1) y
2 x3 x .
Производная сложной
функции
1
2 f x
y f;
f 2 x3 x.
f / x
f / x
2 f x

8.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая Производная
функция
простой
функции
cos x
sin x
Сложная
функция
Производная сложной
функции
sin f x
cos f x f / x
Пример: 1) y sin 2 x .
3
y sin f ;
f 2x .
3
/
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3
/
/