Лекция_917_С_1к_1с_Законы_сохранения_4

1.

Физика 1 курс, 1 семестр
Лекция 9. Физические основы механики
Законы сохранения:
- Потенциальная энергия
взаимодействия
- Закон сохранения энергии
- Условия равновесия
В.И. Читайкин
кандидат физико-математических наук
доцент

2.

План лекции
Наименование раздела
Номер слайда
Введение
3
Раздел 1. Потенциальная энергия взаимодействия
4
1.1. «Внешняя» потенциальная энергия
5
1.2. Собственная потенциальная энергия системы
6
1.3. Система взаимодействующих частиц
7
Раздел 2. Закон сохранения энергии
9
2.1. Формулировка теоремы о сохранении полной механической энергии
10
2.2. Доказательство теоремы о сохранении полной механической энергии
11
2.3. Следствия из закона сохранения энергии
12
2.4. Комментарии к закону сохранения энергии
13
2.5. Графическое представление закона сохранения энергии (пример)
14
Раздел 3. Условия равновесия механической системы
3.1. Общие положения
15
16
3.2.
Полезный пример: потенциал Леннарда-Джонса
2

3.

Введение
9-ая лекция продолжает изучение раздела «Законы сохранения в механике», являясь четвёртой
по счёту в этом разделе. Ранее были рассмотрены следующие темы:
-
понятие импульса, был получен закон его сохранения (в 6-ой лекции),
понятие кинетической энергии частицы и понятие работы (в 7-ой лекции),
понятие потенциальной энергии частицы во внешнем поле сил (в 8-ой лекции).
В 9-ой лекции будут сформулированы:
-
закон сохранения полной механической энергии и
условия равновесия механической системы, непосредственно вытекающие из этого закона.
Начнём лекцию 9, тем не менее, вновь с потенциальной энергии, распространив это понятие
на случай двух и более взаимодействующих частиц (тел), т.е. на случай системы, Это позволит
сформулировать закон сохранения полной механической энергии наиболее полно и точно.
Предварительное, повторное замечание: механическая энергия существует двух видов:
кинетическая и потенциальная. Эти формы различаются принципиально. Кинетическая энергия
(или энергия движения) определяется массами и скоростями частиц (тел). Потенциальная энергия
зависит от взаимного расположения взаимодействующих друг с другом частиц (тел). Поэтому её
часто называют энергией положения.
3

4.

Раздел 1. Потенциальная энергия взаимодействия
4

5.

1. Потенциальная энергия взаимодействия
1.1. «Внешняя» потенциальная энергия
Ранее, в 8-ой лекции, была определена потенциальная энергия одной частицы (тела), находящейся
во внешнем силовом поле. При этом предполагалось, что это поле образовано каким-либо другим
телом и оно (тело) не испытывает никакого действия со стороны рассматриваемой частицы.
Это возможно, когда тело-источник поля многократно превосходит
частицу по массе. Например, таким телом-источником гравитационного
поля является планета Земля (её масса составляет 6∙1024 кг). Очевидно,
R2
воздействием частицы (тела) на нашу планету можно пренебречь (См.рисунок).
R3
R1
Вслед за Игорем Евгеньевичем Иродовым, хотя и несколько условно,
потенциальную энергию частицы (тела), находящейся во внешнем
силовом поле, будем называть «внешней» потенциальной энергией.
Размеры показанных частицВ общем виде «внешняя» потенциальная энергия частицы (тела) есть:
тел составляют более 300 км.
U(x, y, z) = - ∫∫∫F(x, y, z)∙dx∙dy∙dz = - ∫F(s)∙ds + Const
Обозначения – см. лекцию 8.
Дополнительный вопрос: Найдите и укажите
астрономическое обозначение планеты Земля.
Но как они малы по сравнению
с размерами Земли!
1. Укажите значение RЗемля.
2. Найдите массу указанных тел,
предположив, что их плотность
такая же, как у Земли.
5
3. Найдите Москву.

6.

1. Потенциальная энергия взаимодействия
1.2. Собственная потенциальная энергия системы
В большинстве практически важных задачах различие в размерах и массах частиц (тел) не столь
грандиозно, как это было в примере на предыдущем слайде. Очевидно, что если частицы (тела) имеют
сопоставимые размеры и массы, то пренебрегать действием их друг на друга нельзя.
2
Соответствующие силы называются внутренними (см.рисунок).
1
F21
F12
Будем рассматривать только центральные внутренние силы,
О1
О2
т.е. такие силы, которые зависят только от расстояния R между
R
центрами масс частиц (О1 и О2) и которые направлены строго
по прямой, соединяющей эти центры масс.
Взаимодействие частиц осуществляется
в соответствии с 3-им законом Ньютона.
Работа таких сил будет зависеть только от относительного
|F12| = |F21| или: F12 = - F21
расположения частиц в рассматриваемой системе, т.к. dA = F∙ds.
Силы F12 и F21 – внутренние
Это означает, что потенциальная энергия этой системы частиц
(тел), которая по определению равна совершённой работе (dU = dА),
будет также зависеть только от конфигурации системы частиц (тел).
Такую потенциальную энергию называют собственной потенциальной энергией. Она
определяется не внешним силовым полем, а конфигурацией расположения самих частиц (тел).
6

7.

1. Потенциальная энергия взаимодействия
1.3. Система взаимодействующих частиц
F12
Повторим рисунок двух взаимодействующих частиц (тел),
1
заменив их на привычные материальные точки.
Пусть частицы 1 и 2 перемещаются в течение времени dt
на величину dr1 и dr2, соответственно.
Работа, которую при таком перемещении совершат обе эти силы есть:
dA1,2 = F1∙dr1 + F2∙dr2
Значения перемещений dr1 и dr2, очевидно, зависят от выбора системы координат.
F21
2
R
Взаимодействие частиц друг с другом осуществляется в соответствии с 3-им законом Ньютона.
|F12| = |F21| или: F12 = - F21
Тогда: dA1,2 = F1∙(dr1 - dr2) = F1∙(dr1)'
Выражение (dr1 - dr2) = (dr1)' – есть перемещение первой частицы относительно второй частицы,
которую можно считать «покоящейся».
Очевидно, величина относительного перемещения (dr1)' не зависит от выбора системы координат.
7

8.

1. Потенциальная энергия взаимодействия
1.3. Система взаимодействующих частиц (продолжение)
Силы F12 и F21 – это центральные и консервативные силы, работа этих сил равна изменению
потенциальной энергии взаимодействия частиц 1 и 2, взятой с обратным знаком. См. подробнее лекцию 8.
Можно записать:
dA1,2 = - dU12
Как и работа A1,2 , функция U12 зависит только от расстояния между частицами. Тогда U12 - это
собственная потенциальная энергия системы из двух частиц:
UСОБ = U12
Для системы из трёх частиц: UСОБ = U12 + U13 + U23
(Покажите самостоятельно)
Общий вывод. Каждой конфигурации системы двух и более частиц присуще своё значение
собственной потенциальной энергии, работа всех внутренних центральных консервативных сил
при изменении этой конфигурации равна изменению (убыли) собственной потенциальной энергии
системы.
АВНУТР = ∆UСОБ = U1 СОБ - U2 СОБ
U1 СОБ и U2 СОБ – собственная потенциальная энергия системы частиц в начальном и конечном состоянии
8

9.

Раздел 2. Закон сохранения энергии
9

10.

2. Закон сохранения энергии
2.1. Формулировка теоремы о сохранении полной механической энергии
Ранее, в лекциях 7, 8 и в первом разделе лекции 9, были даны определения и был выполнен
анализ важных физических понятий: кинетическая и потенциальная энергии частицы (тела), а
также работа, совершаемая силами.
С учётом выполненного анализа, можно сформулировать закон сохранения механической
энергии в форме строгой теоремы и доказать её справедливость.
Вначале повторим полезные определения.
Определение (повторно): Полная энергия механической системы есть сумма кинетической
и потенциальной энергии: Е = T + U.
Определение (повторно): В системе частиц (тел), в которой не действуют внешние силы,
называется консервативной.
Сформулируем теорему.
Теорема: В консервативных системах полная механическая энергия не меняется со
временем, т.е. сохраняется.
10

11.

2. Закон сохранения энергии
2.2. Доказательство теоремы о сохранении полной механической энергии
Доказательство. Будет выполнено для одной частицы, что не умаляет его общности.
Запишем второй закон Ньютона для тела массой m, на которое действует сила F:
m∙a = m∙