2.2 Гаусс и Крамер

1.

1. МЕТОД ГАУССА
Этот
метод
заключается
в
последовательном
исключении
переменных из системы уравнений.

2.

Дана система из трех уравнений:
x1 2 x2 3x3 6
2 x1 3x2 x3 4
3x x 4 x 0
3
1 2
Матрица системы будет иметь вид:
1 2 3
2 3 1
3 1 4
Если включить в нее столбец свободных
членов, то она будет называться
расширенной:

3.

1 2 3 6 ( 2)( 3)
2 3 1 4
3 1 4 0
Исключим переменную x1
из всех
уравнений,
кроме
первого.
Это
эквивалентно получению нулей во 2-й и
3-ей строке первого столбца.
Для этого умножим первое уравнение на
(-2) и (-3) и сложим соответственно, со 2м и 3-м уравнением:

4.

1 2 3 6
0 1 7 8 ( 5)
0 5 13 18
Теперь исключим переменную x2
из
третьего уравнения (получим ноль в 3-ей
строке 2-го столбца).
Для этого умножим 2-е уравнение на (-5) и
сложим его с третьим:
1 2
3 6
0 1 7 8
0 0 22 22

5.

Запишем
полученную
уравнений:
систему
x1 2 x2 3x3 6
x2 7 x3 8
22 x 22
3
Последовательно находим:
x3 1 x2 7 8 x2 1
x1 2 3 6 x1 1
Ответ:
x1 1
x2 1
x 1
3

6.

2. МЕТОД КРАМЕРА
Пусть дана система (1). Рассмотрим частный
случай, когда число неизвестных равно
числу уравнений.
Найдем определитель матрицы системы:
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
A
...
an1 an 2 ... ann

7.

Пусть
ΔJ –
определитель
матрицы,
полученной из матрицы А заменой j–го
столбца столбцом свободных членов:
b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2 n
1
...
bn an 2 ... ann
a11 b1 ... a1n
a21 b2 ... a2 n
2
...
an1 bn ... ann
...
Тогда, если определитель матрицы системы
не равен 0, то система уравнений (1) имеет
единственное
решение,
которое
определяется по формулам:

8.

xj
j
( j 1,2...n)

9.

Решим систему из предыдущего примера.
Матрица системы имеет вид:
1 2 3
2 3 1
3 1 4
Находим ее определитель:
1 2 3
2 3 1 12 6 6 27 16 1 22
3 1 4

10.

Найдем определители Δ1 , Δ2 , Δ3 :
6 2 3
1 4 3 1 72 0 12 0 6 32 22
0 1 4
1 6 3
2 2 4 1 16 18 0 36 48 0 22
3 0 4
1 2 6
3 2 3 4 0 24 12 54 0 4 22
3 1 0

11.

Используем формулы Крамера:
22
x1
1
1 22
22
x2
1
2 22
22
x3
1
3 22
Ответ:
x1 1
x2 1
x 1
3

12.

Замечание:
Если Δ=0 при том, что хотя бы один
из определителей ΔJ не равен нулю,
то система (1) несовместна.
Если Δ=0 и все ΔJ тоже равны нулю,
то система неопределенная, так как
она имеет бесконечное множество
решений.

13.

3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Пусть дана система (1). Снова рассмотрим
случай, когда число неизвестных равно
числу уравнений.
В матричной форме система имеет вид:
A X B
Пусть существует обратная матрица А-1 к
матрице системы А.

14.

Тогда решением матричного уравнения
будет матрица-столбец Х:
1
X A B
Проверяем:
1
A A B E B B

15.

Решим систему из предыдущего примера.
Матрица системы и столбец свободных
членов имеют вид:
1 2 3
A 2 3 1
3 1 4
6
B 4
0
Найдем обратную матрицу А-1 :
Ранее был найден определитель матрицы А:
A 22

16.

Находим алгебраические дополнения для
каждого элемента матрицы А :
3 1
A11 ( 1) M 11
12 1 11
1 4
2
2 1
A12 ( 1) M 12
( 8 3) 5
3 4
3
2 3
A13 ( 1) M 13
2 9 7
3 1
4
2 3
A21 ( 1) M 21
( 8 3) 11
1 4
3

17.

1 3
A22 ( 1) M 22
4 9 13
3 4
4
1 2
A23 ( 1) M 23
(1 6) 5
3 1
5
2 3
A31 ( 1) M 31
2 9 11
3 1
4
1 3
A32 ( 1) M 32
( 1 6) 7
2 1
5
1
A33 ( 1) M 33
2
6
2
3 4 1
3

18.

Составляем
матрицу
из
найденных
алгебраических дополнений:
11 5 7 T 11 11 11
11 13 5 5 13 7
7
11 7
5
1
1
Транспонируем
ее
и
делим
на
определитель.
Получаем
обратную
матрицу:
11 11 11
1
1
A 5 13 7
22
7
5
1

19.

Находим решение системы уравнений:
11 11 11 6
1
1
X A B 5 13 7 4
22
0
7
5
1
( 11) 6 11 4 ( 11) 0
22 1
1
1
5 6 ( 13) 4 7 0 22 1
22
22
1
(
7
)
6
5
4
(
1
)
0
22
Ответ:
x1 1
x2 1
x 1
3