Движение заряженных частиц в постоянных электрическом и магнитном полях

1. Лекция 13

4. ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Движение заряженных частиц
в постоянных электрическом
и магнитном полях.

2.

4.1. Силы, действующие на заряженную
частицу в электромагнитном поле. Сила
Лоренца.
4.2. Движение заряженной частицы в
однородном постоянном электрическом
поле.
4.3. Движение заряженной частицы в
однородном постоянном магнитном поле.
4.4.
Практические
применения
силы
Лоренца. Эффект Холла.

3. 4.1. Силы, действующие на заряженную частицу в электромагнитном поле. Сила Лоренца.

Мы уже знаем, что на проводник с током, помещенный в магнитное поле,
действует сила Ампера. Но ток в проводнике – есть направленное
движение зарядов. Отсюда напрашивается вывод, что сила,
действующая на проводник с током в магнитном поле, обусловлена
действием сил на отдельные движущиеся заряды, от которых это
действие передается уже самому проводнику. Этот вывод
подтверждается, в частности, еще и тем, что пучок свободно летящих
заряженных частиц отклоняется магнитным полем.
Сила Ампера,В действующая на элемент тока в магнитном поле с
индукцией
:
dF IdlB sin
,
где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором.
Пусть υ – скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; q
заряд носителя тока (в металлах q = - e). Для элемента
тока можем написать:
Idl nq Sdl dNqυ,
где n = dN/dV – концентрация зарядов, dN – число
зарядов в элементе объема dV = Sdl.

4.

Тогда, сила, действующая в магнитном поле на один заряд, будет:
dF
Fм
q B sin
dN
или в векторном виде
Fм q[ B]
.
Эту силу называют силой Лоренца (Lorentz H., 1853-1928).
Свойства силы Лоренца:
1. сила Лоренца действует только на движущуюся заряженную частицу;
F
B
F
2.
и одновременно ;
F
сила Лоренца не совершает работу, а следовательно,
3. поскольку
, то
не может изменить энергию частицы.
Если помимо магнитного поля присутствует еще и электрическое поле
сила:
Е , то на частицу действует дополнительная
Fэ qE
Полная сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном
поле (которую также называют силой Лоренца) есть:
FЛ qE q[ B]

5. 4.2. Движение заряженной частицы в однородном постоянном электрическом поле.

В данном случае B 0 и сила Лоренца имеет только электрическую
составляющую Fэ qE . Уравнением движения
частицы в этом случае
является:
qE
ma qE a
m
.
а) || E и б) E .
Рассмотрим две ситуации:
а) || E .
Изменение кинетической энергии частицы на пути
d
2
2
происходит за счет работы силы Fэ : m m 0 qE d qU
2
2
02
2qU
m
,
где U = Ed - ускоряющее напряжение.
2qU
В частности, если начальная скорость частицы υ0 = 0, то m
.
Время пролета частицы в электрическом поле и пройденный путь
находим из уравнений:
0 at
at 2
d 0 t
2

6.

б) E .
В
данном случае проекции уравнения движения частицы на
координатные оси дают: Ox : ma x 0, x 0 const ;
qE
Oy : ma y qE a y
, y a y t .
m
Координаты частицы в момент времени t составляют:
a y t 2 qE 2
t .
x 0t ; y
2
2m
Исключая из этих уравнений параметр t , находим уравнение траектории
частицы:
qE 2
y
2m 02
x
Видим, что траекторией движения частицы является парабола.
Определим смещение следа частицы на экране, отстоящем от
2
qEl
конденсатора на расстоянии b: h y y
, где
y
2m o2
- смещение частицы по вертикали, полученное ею в электрическом поле
к моменту вылета из конденсатора t l ; y btg b y b qEl2
0
x
m 0
- смещение частицы после вылета из конденсатора.
Таким образом, имеем:
h
qEl
(l 2b)
2
2m 0
.

7. 4.3. Движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле.

В данном случае Е 0 и сила Лоренца имеет только магнитную
составляющую Fм q[ B] . Уравнением движения частицы, записанном
в декартовой системе координат, в этом случае является:
i
ma q B q x
j
k
y z
.
Рассмотрим сначала случай, когда частица влетает под прямым углом к
силовым линиям магнитного поля.
B 0;0; B , { x , y ,0} , и уравнение движения принимает вид:
Bx
i
j
ma q x y
By
Bz
k
0 qB( x j y i )
B
,
откуда следует, что вектор полного ускорения
частицы a лежит в
плоскости, перпендикулярной вектору
.BЛегко убедиться также в том,
a
что вектор ускорения перпендикулярен
вектору
скорости частицы и
составляет
правуюB тройку векторов (как и
вместе с вектором
должно быть по свойствам силы Лоренца). Действительно,
(a ) a x x a y y qB y x qB x y 0 .
0
0

8.

Таким образом, ускорение частицы в каждый момент времени t
направлено к центру кривизны траектории и играет роль нормального
(центростремительного) ускорения. Модуль ускорения равен:
a a x2 a y2
qB
qB
x2 y2
m
m
.
2
2
2
Траекторией движения является окружность x y R
, радиус R
2
которой находим из условия: а ац.с. , то есть q B , откуда:
R
Период обращения частицы
T
2 R
m
qB
m
R
.
2 m 2 m
qB
qB
T
2 m
qB
Отметим, что период обращения и соответственно угловая скорость
движения частицы 2 / T не зависят от линейной скорости υ.

9.

Рассмотрим теперь случай, когда частица влетает под углом α к силовым
линиям магнитного поля.
Разложим
вектор
скорости
на
две
составляющие:
параллельную
вектору и
||
.В Поскольку составляющая силы Лоренца
в
В - перпендикулярную
направлении В равна нулю,
она не может повлиять на величину || . Что
касается составляющей , то этот случай был рассмотрен выше. Таким
образом, движение частицы можно представить как наложение двух
движений: одного – равномерного
перемещения вдоль направления силовых
линий поля со скоростью || , второго – равномерного вращения в
плоскости, перпендикулярной В . В итоге траекторией движения будет
винтовая линия.
2 qB
Шаг винтовой линии определяется по формуле: l || T cos T , где T
m
.
m m sin
Радиус витка находим по формуле: R
qB
qB
Направление, в котором закручивается винтовая линия,
зависит от знака заряда частицы. Если заряд частицы
положительный, то винтовая линия закручивается
против часовой
стрелки, если смотреть вдоль
направления В , и наоборот – по часовой стрелке,
если заряд частицы отрицательный.

10. 4.4. Практические применения силы Лоренца. Эффект Холла.

К числу одного из известных проявлений силы Лоренца относится эффект,
обнаруженный Холлом (Hall E., 1855-1938) в 1880г.
Суть явления заключается в следующем: если металлическую пластинку,
вдоль которой течет постоянный ток, поместить в магнитное поле, то
между параллельными току и полю гранями пластинки возникает
разность потенциалов, величина которой определяется выражением:
,
U H RbjB
где b – толщина пластинки; j - плотность тока; R – так называемая
постоянная Холла.

11.

Эффект Холла объясняется действием силы Лоренца на движущиеся в
металле электроны, создающие ток. Направление тока противоположно
направлению движения электронов. Поэтому при включении магнитного
поля на каждый электрон будет действовать сила, направленная к нижней
грани пластинки и равная по величине
.
Fм e u B
В результате на нижней грани появятся избыточные отрицательные заряды,
а на верхней - соответственно избыточные положительные заряды.
Между верхней и нижней гранью возникнет разность потенциалов U, то
есть электрическое поле. Напряженность поля
. Сила,
EB U / b
действующая на электрон со стороны этого поля, направлена вверх и
равна по величине:
U
Fэ eE B e .
b
При установившемся процессе разделения зарядов Fэ Fм , откуда, принимая
j ne
u
во внимание, что плотность тока
, находим
холловскую разность
bjB
потенциалов:
UН
ne
1
Постоянная Холла R
, где n – концентрация электронов в металле.
ne
Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полупроводниках, а
также в электролитах. Знак холловской разности потенциалов зависит от
знака носителя заряда. Поэтому эффект Холла широко применяют не
только для определения концентрации носителей заряда в
полупроводниках, но также для определения типа полупроводника.

12.

Из
других практических применений силы Лоренца отметим
использование ее в различных электронных устройствах (кинескоп,
магнетрон), масс-спектрографах, ускорителях заряженных частиц,
других устройствах и приборах.
Движение заряженных частиц в вакуумной камере циклотрона
Селектор скоростей и массспектрометр
Магнитная «бутылка». Заряженные частицы не выходят за пределы «бутылки».
Магнитное поле «бутылки» может быть создано с помощью двух круглых катушек с
током

13.

Радиационные пояса Земли. Быстрые заряженные частицы от Солнца (в основном электроны и протоны)
попадают в магнитные ловушки радиационных поясов. Частицы могут покидать пояса в полярных
областях и вторгаться в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния